Chiziqli normalangan fazo

4-amaliy mashg’ulot

W – chiziqli normalangan fazo, J=J[u,v] funksional har bir o’zgaruvchisi bo’yicha chiziqli bo’lsin. Agar u=v deb olsak, hosil bo’lgan J[u,u] funksionalga kvadratik funksional deyiladi. Masalan, agar a(x)-[x₀,x₁] oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya bo’lsa,

funksional W=C[x₀,x₁] fazoda har bir u=u(x) va v=v(x) elementlar bo’yicha chiziqli funksionaldir. Bu yerda u=v deb olib, C[x₀,x₁] da aniqlangan

kvadratik funksionalga ega bo’lamiz.
1-ta’rif. W chiziqli normalangan fazoning elementi va uning ixtiyoriy elementi uchun funksionalning orttirmasi
(1)
ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo’lsin, bu yerda ga nisbatan chiziqli funksional, esa ga nisbatan kvadratik funksional, U holda J[y] funksional nuqtada ikkinchi variatsiyaga ega deyiladi. h ga nisbatan kvadratik funksional esa, J[y] funksionalning Freshe bo’yicha ikkinchi variatsiyasi deyiladi hamda bu variatsiya kabi belgilanadi: .
W chiziqli normalangan fazoning biror V to’plamida aniqlangan J[y] funksional berilgan bo’lsin. V to’plam, yoki to’plam W ning chiziqli qism fazosi bo’lsin.
2-ta’rif. funksiyaning nuqtada ikkinchi tartibli hosilasiga J[y] funksionalning Lagranj bo’yicha ikkinchi variatsiyasi deyiladi:
.
1-teorema. Agar y₀V nuqta J[y] funksionalning kuchsiz lokal minimali (maksimali) bo’lsa, u holda shu nuqtada hisoblangan ikkinchi variatsiya manfiymas (musbatmas) bo’ladi:
.
2-teorema. Agar J[y] funksional y₀V nuqtada birinchi va ikkinchi variatsiyalarga ega bo’lib, ular
(2)
(bu yerda >0 – biror o’zgarmas) shartlarni qanoatlantirsa, u₀ – lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi bo’ladi.


Amaliy topshiriqlar.
Quyidagi funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblang.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblang.
Yechilishi: Funksionalning ikkinchi variatsiyasi
formula yordamida topiladi. Ikkinchi variatsiyani topish uchun integral ostidagi funksiя dan bo’yicha ikki marta xususiy hosila olamiz va bu hosilalar larga teng bo’ladi. Bundan keyin bo’yicha olingan xususiy hosiladan bo’yicha xususiy hosila olib, ga ega bo’lamiz. Endi integral ostidagi funksiyadan bo’yicha ikki marta xususiy hosila olib, ega bo’lamiz. Natijada berilgan funksionalning ikkinchi variatsiyasi qu’yidagi ko’rinishda bo’ladi:
.