O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim vazirligi

I. KARRALI INTEGRALLAR TARIFI
1.1. Karrali integrallar
Karrali integral — tekislikning maʼlum sohasida, 3 oʻlchovli yoki p oʻlchovli fazoda berilgan funksiyalardan olingan integral. K. i., odatda, 2 karrali, 3 karrali va h. k. integrallar deb yuritiladi. Ushbu (fx, u) funksiya tekislikning biror D sohasida berilgan boʻlsin. Dsohani yuzi 5(boʻlgan p ta mayda dj sohalarga boʻlamiz va har bir dt sohada (Ј., l. () nuqtalarni tanlab, quyidagi integral yigʻindini tuzamiz: p sn = i /(Zjji^Sj. (l) Barcha dt sohalarning eng katta diametri Xa nolga intilganda (1) integral yigʻindi sohaning S, boʻlaklarga qanday usul bilan boʻlinishiga hamda (!,., l.) nuqtalarning qanday olinganiga bogʻliq boʻlmagan holda har doim bitta chekli limitga ega boʻlsa, u holda (fx, u) funksiya D sohada integrallanuvchi deyiladi. Limitning qiymatiga esa/(x, u) funksiyaning D soha boʻyicha olingan ikki karrali integrali deyiladi va U Ya (fx,y)dS bilan belgilanadi. Uch karrali va umuman i karrali integral ham shunga oʻxshash taʼriflanadi. Matematik J. Grin va M. Ostrogradskiyning Karrali integralni oʻlchamlarini kichik boʻlgan integrallarga keltiruvchi formulalari bor. K. i. mexanika, fizika va b. sohalarda qoʻllaniladi.
Massalar bilan to`ldirilgan biror jism berilgan bo`lib, uning har bir nuqtasidagi massalar taqsimotining zichligi ma`lum bo`lsin. Jismning butun massasi ni aniqlash talab etiladi.
Bu masalani yechish uchun jismni

bo`laklarga ajratamiz va har biridan bittadan

n uqta tanlaymiz. bo`lakda zichlik o`zgarmas va xuddi tanlangan nuqtadagi zichlikka taqriban teng deb qabul qilaylik. U holda bu bo`lakning massasi taqriban quyidagicha ifodalanadi:

butun jismning massasi esa bo`ladi. Agar hamma bo`laklarning diametrlari nolga intilsa, limitda bu taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi, ya`ni
(1)
binobarin, masala hal etiladi.
Ko`ryapmizki, bu yerda ham masala yechimi bizni o`ziga xos yig`indining – biz butun kurs davomida ko`p martalab murojaat qilgan turli xildagi integral yig`indilarga o`xshash yig`indining limitini o`rganishga olib keldi.
Mexanika va fizikada ko`pincha yuqoridagiga o`xshash limitlarni o`rganishga to`g`ri keladi; ular uch karrali integral deb nom olganlar. Ular uchun kiritilgan belgilarda yuqoridagi natija bunday yoziladi:

Hajmning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi yordamida uch karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirishning umumiy formulasini topish qiyin emas.
va fazolarning va sohalari orasida yuqorida izohlab berilgan moslik mavjud bo`lsin. (12) formulani keltirib chiqarishda foydalanilgan hamma shartlarga rioya qilingan holda, ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirishda chiqarilgan formulaga o`xshash
(14)

formula o`rinli ekanini ko`rsataylik. Bunda funksiyani uzluksiz deb faraz qilamiz. Shunday qilib, (14) tenglikdagi ikkala integral mavjudligi shubhadan xoli va, binobarin, tenglikning o`zini keltirib chiqarish kerak.
Isbot qilish uchun, va sohalarni bo`lakli – silliq sirtlar bilan elementar (bir – biriga mos) va qismlarga ajratib, har bir juft va sohalar uchun (13) formulani qo`llansak,
(15) ga ega bo`lamiz; bu yerda nuqta sohaning ma`lum bir nuqtasi bo`lib, uni tanlash bizga bog`liq emas. sohadagi mos nuqtani olib, ya`ni
(16) deb hisoblab, (14) tenglikning chap tomonidagi integral uchun integral yig`indi tuzamiz:

Bu yerdagi lar o`rniga (16) ifodani, o`rniga (15) ifodani qo`yib,

yig`indini hosil qilamiz. Bu esa (14) tenglikning o`ng tomonidagi integral uchun integral yig`indidir.
sohalarning diametrlarini nolga intiltiramiz, natijada, moslikning uzluksizligiga ko`ra, sohalarning diametrlari ham nolga intiladi. yig`indi bir vaqtning o`zida ham birinchi, ham ikkinchi integrallarga intilishi kerak; bu yerdan, (14) tenglik kelib chiqadi.
Ikki karrali integrallarda bo`lganidek, (14) formula yuqoridagi shartlar ba`zi nuqtalarda yoki ba`zi chiziq va sirtlar bo`ylab bajarilmay qolgan ko`pgina hollarda ham o`z kuchini saqlaydi.
Misollar. 1) Ushbu sirt bilan chegaralanganjismning hajmi topilsin.
Yechish. Bu tenglamadagi va larning faqat kvadratlari qatnashgani uchun, jism va tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan. Yana, tenglamaning chap tomoni doimo musbat bo`lgani uchun, bo`lishi kerak, ya`ni jism tekisligidan butunlay yuqorida joylashgan. Shu izohlarga ko`ra, biz jismimizning birinchi oktantda yotuvchi to`rtdan bir qismining hajmini hisoblash bilan chegaralanishimiz mumkin.
Tenglamada ifodaning qatnashayotganligi bizni sferik koordinatalarga o`tishga undaydi. Sirt tenglamasiga ifodalarni qo`yib sirtning sferik koordinatalardagi tenglamasini topamiz:

Birinchi oktant

tengsizliklar bilan xarakterlangani uchun, funksional determinantning qiymati ni hisobga olgan holda


ga ega bo‘lamiz.
Jismning hajmini hisoblashga silindrik koordinatalarni tatbiq etish qiziq
formulaga olib keladi.
Bo`lakli – silliq sirt bilan chegaralangan jismni olaylik. o`qidan boshlanadigan ga to`g`ri keladigan yarim tekislik jismni biror tekis shakl bo`yicha kesayotgan bo`lsin. U holda

Bu yerda shaklni o`qi atrofida yuqorida tilga olingan yarim tekislik bilan birga aylanuvchi to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasiga nisbatan yozish qulaydir.
Endi, ravshanki, ikki karrali integral figuraning o`qiga nisbatan statik momentini ifodalaydi va, shunga ko`ra, u shakilning yuzi bilan uning og`irlik markazi dan o`qigacha masofa ning ko`paytmasiga teng:

Bu ifodani hajm formilasiga qo`yib, ushbu formulaga ega bo`lamiz:

Bu formula P.P.Kuskov tomonidan ko`rsatilgan bo`lib, tekis (o`zgarmas yoki diformatsiyalanuvchi) shaklning vintsimon harakati natijasida hosil bo`luvchi jismlarning, masalan, prujinalarning, vint narezkasining va boshqalarning hajmini topish uchun ayniqsa qulaydir.
Agar jism o`qi bilan kesishmaydigan o`zgarmas shaklning shu o`q atrofida aylanma jismdan iboratgina bo`lsa, u holda

bo`ladi va formula ushbu ko`rinishni oladi:

Bu ma`lum Gul’din teoremasini ifodalaydi: tekis shaklning u bilan kesishmaydigan o`q atrofida aylanishidan hosil bo`lgan aylanma jismning hajmi bu shakl yuzi bilan uning og`irlik markazi chizgan aylana uzunligining ko`paytmasiga teng. Shunday qilib, Kuskov formulasi bu klassik teoremaning tabiiy umumlashtirilishidir va, aksincha, bu teoremadan osongina keltirib chiqariladi.
Fazodagi (massasi 1 bo`lgan) ixtiyoriy nuqtaning zichligi bo`lgan
bir jinsli sfera tomonidan tortilish kuchi topilsin.
Sfera radiusi masofa ga teng bo`lsin. Koordinata o`qlarini shunday joylashtiramizki, nuqta o`qining musbat tomonida bo`lsin. U holda

Sferik koordinatalarga o`tsak:

ekanligini topamiz.
Biz yuqorida sferik qaylamning tortish kuchini aniqlashda ushbu ikki karrali integral qiymatini topgan edik:

Shunga ko`ra, bo`lsa-

va, agar bo`lsa
Ayni paytda, ravshanki, Demak, har ikkala holda ham tortish kuchi sfera markaziga yo`nalgan bo`ladi.
Bunda sferadan tashqaridagi nuqtaning bu sferik tomonidan tortilish kuchi, sferaning hamma massasi uning markaziga joylashgandagi tortilish kuchiga teng. Ikkinchi tomondan sfera ichidagi nuqtaning tortilish kuchi ga bog`liq bo`lmagani va holdagi qiymatga teng bo`lganligi uchun, ravshanki, tashqi sferik qatlam ichki nuqtaga hech qanday ta`sir o`tkazmaydi.
Ta`kidlab o`tish kerakki, (tortiluvchi nuqta sferadan tashqarida yotgan hol) bo`lganida integral ostidagi funksiya uzluksizligini saqlaydi va yuqoridagi amallarga izohning hojati yo`q. ( nuqta sfera ichida yoki uning sirtida) bo`lganda ahvol boshqacha. Bu holda shu nuqta atrofida integral ostidagi funksiya chegaralangan bo`lmay qoladi va integralni xosmas integral sifatida tushunish kerak bo`ladi. O`zgaruvchilar almashtirilgach, maxsuslik yo`qoladi; mana shu holat integral mavjudligini va barcha bajarilgan amallar asosli ekanini ko`rsatish imkonini beradi.