O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi fizika-matematika fakulteti mi-201-guruh talabasi boymurodova saodat otamurod qizining geometriya fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu

1.2 - Evkilidning negizlar asari, beshinchi pastulotni isbotlashga bo’lgan urunishlar.
Yevkilid hayoti haqida deyarli aniq ma’lumotlar mavjud emas. Bizga u haqidagi ayrim uzuq-yuluq afsona tarzidagi xabarlar yetib kelgan xolos. Uning eng mashhur asari «Boshlang‘ichlar» ga birinchi bo‘lib sharh yozga Prokl (V asr), Yevklidning qachon va qayerda tug‘ilganligini yoki vafot etganligini aniq aytib bera olmagan. Proklning qayd etishicha «bu arbob alloma» Ptolomey I zamonasida yashagan ekan. Ba’zi biografik ma’lumotlar XII-asrga oid arab qo‘lyozmasida saqlanib qolgan: «Yevklid, Naukratning o‘g‘li «Geometr» nomi bilan mashhur, qadimgi zamon allomasi, kelib chiqishiga ko‘ra yunon, yashagan joyi Suriya, Tir o‘lkasida tavallud topgan».
Afsonalardan birida aytilishicha, podsho Ptolomey geometriyani o‘rganishni istab qoladi. Lekin bu oson emasligini bilib, u Yevklidni o‘z huzuriga chorlaydi va matematikani o‘rganish uchun oson yo‘llarni ko‘rsatishini so‘raydi. «Geometriya uchun shohona yo‘l yoq» - deb aytadi Yevklid va bu jumla bizning davrimizga qanotli ibora ko‘rinishida yetib kelgan.
Yevklidning «Boshlang‘ichlar» asari hozirda Yevklid geometriyasi nomi bilan ma’lum bo‘lgan geometriya fanining asosi hisoblanadi. «Bоshlаngichlаr»ning gеоmеtriyagа doir bo‘limlаri o‘zining mаzmuni jihаtidаn va mаtеriаl bayon etishdagi qat’iyligi jihаtidаn gеоmеtriyaning hozirgi maktab dаrsliklаrigа mos kеlаdi. U fazoning metrik xususiyatlarini bayon qiladi va hozirgi zamon fanida Yevklid fazosi deb ataladi.
Yevklid fazosi, Galiley hamda Nyuton tomonidan asos solingan mumtoz fizika hodisalarining namoyon bo‘lish arenasi hisoblanadi. Bu fazo bo‘sh, cheksiz va izotrop bo‘lib uch o‘lchamga ega. Yevklid fazoda atomlar harakatini ilgari suruvchi g‘oyalariga asoslangan o‘ziga xos fazo geometriyasini yaratdi. Undagi eng soda geometrik obyekt bu nuqta bo‘lib, Yevklidga ko‘ra nuqta tomonlarga ega emas va bo‘linmas hisoblanadi.
Fazoning cheksizligi uchta postulatlar bilan ifodalanadi:
«Har qanday ikki nuqta orasidan to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin»;
«Kesmani har ikki tarafga cheksiz davom ettirish mumkin»;
«Har qanday markaz orqali aylana chizish mumkin»
«Boshlang‘ichlar» haqida gapirilganda uning, Injildan so‘ng ikkinchi mashhur qadimgi yodgorlik asar deb baholanadi. Kitob o‘ziga xos, jozibador tarixga ega. Ikki ming yillik davomida u maktab o‘quvchilarining asosiy darsligi, geometriyaning kirish kursi sifatida Benazir manba bo‘lib xizmat qildi. «Boshlang‘ichlar» o‘z mazmun mohiyatiga ko‘ra soda va ravon tilda yozilganligi, o‘quvchi uchun o‘zlashtirishga qulayligi kabi ajoyib jihatlari tufayli, qadimda ham, yaqin o‘tmishda ham favqulodda mashhurlikka ega edi. Noshirlik ishi hali yo‘lga qo‘yilmagan Gutenberggacha bo‘lgan davrlarda, «Boshlang‘ichlar» turli mamlakatlar va shaharlarda ko‘plab tillardagi qo‘lyozmalar shaklida xattotlar tomonidan minglab nusxalarda ko‘chirib tarqatilgan. «Boshlang‘ichlar»ning qadimgi Misr papiruslariga yozilgan nusxasi, teriga yozilgan bitiklar ko‘rinishidagi namunasi, va qog‘ozga xattotlik usulida yozilgan nusxalari ma’lum. Mazkur asarning amaliy ahamiyati shunda ediki, geometrik bilimlar, kundalik turmushda, uylar, bino va inshootlarni loyihalashda, dastgoh, asbob uskunalarni yasashda va ayniqsa harbiy sohalarda eng zaruriy bilimlar hisoblanardi. XX asrgacha bo‘lgan so‘nggi to‘rt asr ichida «Boshlang‘ichlar» 2500 marotaba nashr etilgan: o‘rtacha bir yilda 6 – 7 nashrda chop etilgan. XX asrgacha mazkur kitob Geometriya fanidan nafaqat maktablarda, balki, universitetlarda ham asosiy darslik bo‘lib hisoblangan.
Yevklidning «Boshlang‘ichlar» asarini to‘liq o‘rganib va mukammal sharhlab chiqqan eng birinchi olimlar – o‘rta asr musulmon sharqi matematik allomalari edi. Musulmonlardan «Boshlang‘ichlar»ning arab tilidagi nusxalari italyan matematiklari orqali Yevropa uyg‘onish davri matematiklari e’tiboriga yetib bordi va lotin tili hamda boshqa Yevropa tillariga muttasil o‘girildi. Dastlabki bosma nashri 1533-yilda Bazelda paydo bo‘ldi. Shunisi qiziqki, «Boshlang‘ichlar»ning ingliz tilidagi eng birinchi tarjima nusxasi, olim yoki tarjimon tomonidan emas, balki, Londonlik savdogar Genri Billingveem tomonidan 1570-yilda amalga oshirilgan va chop ettirilgan.
Yevklidning yana bir qisman saqlanib qolgan matematikaga oid asari ma’lum bo‘lib, unda olim Eng katta umumiy bo‘luvchi – EKUBni topish usullarini yoritib bergan. Mazkur usul tarixda «Eratosfen hisobi» nomi bilan mashhur bo‘lgan va berilgan sonda tub sonlarni keltirib chiqarish masalalarini ko‘radi.
Shuningdek Yevklid Geometrik Optikaning ilk asoslarini ham qo‘ygan va bu boradagi o‘z g‘oyalarini «Optika» va «Katoptrika» asarlarida bayon qilgan. Geometrik Optikaning asosiy tushunchasi bu – to‘g‘ri chiziq bo‘yicha tarqalayotgan nur. Yevklidning fikricha, yorug‘lik nuri inson ko‘zidan chiqib keladi (ko‘rish nurlari nazariyasi), va bu geometrik yashashlar uchun muhim ahamiyat kasb etadi. U qavariq ko‘zguning fokuslovchi va akslantirish qonuniyatlarini aniq ifodalaydi. Lekin fokusning aniq masofasini topish usullarini keltirib chiqara olmagan. Har qanday holatda ham fizika tarixida Yevklidning geometrik optika bo‘yicha tutgan o‘rni juda katta.

Albatta, Yevklid fazosining barcha xususiyatlari birdaniga kashf etilgan emas. Uning ko‘plab jihatlari asrlar davomida, ilmiy tafakkurning uzoq izlanishlari natijasida maydonga chiqqan. Lekin, o‘sha barcha ilmiy ishlarga «Boshlang‘ichlar» asari, o‘z nomiga munosib ravishda ilmiy qanot bergan. Hozirda ham Yevklid geometriyasining asoslarini bilish butun dunyo bo‘yicha ta’lim jarayonlarining muhim shartlaridan biri hisoblanadi.

Geometriyaga oid dastlabki maʼlumotlar Qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv yoʻli (empirik usul) bilan toʻplangan. Masalan, bir juft parallel toʻgʻri chiziqni uchinchi toʻgʻri chiziq kesib oʻtsa, hosil boʻlgan 8 ta burchakdan toʻrttadani oʻzaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik boʻlgan uchburchakning bir burchagi toʻgʻri. Geometrik xossalarni toʻplash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida mushohada ayrim dalillarni boshqalaridan sof mantiqiy yoʻl bilan chiqarishga olib kelgan. Tayin geometrik xossani mantiqiy mushohada bilan keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlagan. Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil. av. 625-548 y.lar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademiyasida mantiq va matematika muhim oʻrin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shugʻullanishgan. Tabiiyki, bunda imkoni boricha oz dalildan boshqa barcha dalillarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu urinishlar yakuni sifatida Yevklid oʻzining mashhur "Negizlar" asarini yaratadi. Bu asar nafaqat matematika tarixida, balki umuman tafakkur taraqqiyotida beqiyos oʻrin tutib, 2000 yil davomida mantiqiy mushohada namunasi boʻlib xizmat qildi. "Negizlar" da Yevklid nuqta, toʻgʻri chiziq, tekislik, tenglik, toʻgʻri chizik yoki tekislikning nuqtadan oʻtishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib, kesma, burchak, koʻpburchak, parallellik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga taʼrif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib chiqaradi.
Beshinchi posulatga muqobil qabul qilish Evkliddan farq qiladigan, lekin bir xil darajada izchil geometriyani qurishga olib keladi degan g'oyani bir nechta olimlar mustaqil ravishda taklif qilishgan: K. F. Gauss, N. I. Lobachevskiy va J. Boyai (shuningdek, F. K. Shveykart va F. A. Taurinus, ularning yangi geometriyaga qo'shgan hissasi kamtarroq edi va o'z tadqiqotlarini nashr etmadi). Gauss o'z arxivida saqlangan (va faqat 1860-yillarda nashr etilgan) eslatmalarga ko'ra, 1810-yillardayoq yangi geometriyaning paydo bo'lishi mumkinligini angladi, ammo bu mavzu bo'yicha o'z kashfiyotlarini hech qachon nashr etmadi: "Men Boeotiyaliklarning faryodidan qo'rqaman ( ya'ni ahmoqlar: Bevosita mintaqasining aholisi hisobga olingan Qadimgi Gretsiya Agar men o'z qarashlarimni to'liq ifoda etsam, eng ahmoqdir", deb yozgan edi u 1829 yilda do'sti, matematik F. V. Besselga. Tushunmovchilik butunlay Lobachevskiyga tushdi, u 1826 yilda yangi geometriya bo'yicha birinchi ma'ruza qildi va natijalarini 1829 yilda e'lon qildi. 1842 yilda Gauss Lobachevskiyni Göttingen ilmiy jamiyatining muxbir a'zosi etib saylashga muvaffaq bo'ldi: bu Lobachevskiyning yagona e'tirofi edi. uning umri. J.Boyayining otasi, 5-posulatni isbotlashga ham uringan matematik Farkas Boyai o‘g‘lini bu yo‘nalishdagi izlanishlardan ogohlantirdi: “...bu sizni bo‘sh vaqtingizdan, sog‘ligingizdan, tinchligingizdan, hayotning barcha quvonchlaridan mahrum qilishi mumkin. Bu qora tubsizlik, ehtimol, Nyuton kabi minglab titanlarni yuta oladi, Yerda bu hech qachon tozalanmaydi ... ". Shunga qaramay, J.Boyai o‘z natijalarini 1832 yilda otasi yozgan geometriya darsligiga ilova sifatida e’lon qildi. Boyai ham e'tirofga erisha olmadi, bundan tashqari, Lobachevskiy undan oldinda ekanligidan xafa bo'ldi: u endi Evklid bo'lmagan geometriyani o'rganmadi. Shunday qilib, faqat Lobachevskiy umrining oxirigacha, birinchidan, yangi sohada izlanishlarni davom ettirdi, ikkinchidan, o'z g'oyalarini targ'ib qildi, yangi geometriya bo'yicha bir qator kitoblar va maqolalar nashr etdi.
Lobachevskiy geometriyasining odatdagi Evklid geometriyasidan farqi shundaki, unda berilgan chiziqda yotmaydigan nuqta orqali bitta tekislikda berilgan chiziq bilan yotadigan va uni kesishmaydigan kamida ikkita chiziq o'tadi. U giperbolik geometriya deb ham ataladi.
1. Evklid geometriyasi - oq nuqtadan faqat bitta chiziq o'tadi, u sariq chiziqni kesib o'tmaydi.
2. Riman geometriyasi - har qanday ikkita chiziq kesishadi (parallel chiziqlar yo'q)
3. Lobachevskiy geometriyasi - sariq chiziqni kesib o'tmaydigan va oq nuqtadan o'tadigan cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar mavjud.
O'quvchi buni tasavvur qilish uchun Klein modelini qisqacha tasvirlab beraylik. Ushbu modelda Lobachevskiy tekisligi birinchi radiusli doiraning ichki qismi sifatida amalga oshiriladi, bu erda tekislik nuqtalari bu doiraning nuqtalari va chiziqlari akkordlardir. Akkord - aylanadagi ikkita nuqtani birlashtiruvchi to'g'ri chiziq. Ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash qiyin, lekin bizga kerak emas. Yuqoridagi rasmdan ma'lum bo'ladiki, P nuqta orqali a chiziqni kesib o'tmaydigan cheksiz ko'p chiziqlar mavjud. Standart Evklid geometriyasida P nuqtadan o‘tuvchi va a to‘g‘rini kesib o‘tmaydigan faqat bitta chiziq mavjud. Bu chiziq parallel.
Endi asosiy narsaga - Lobachevskiy geometriyasining amaliy qo'llanilishiga o'tamiz.
Sun'iy yo'ldoshli navigatsiya tizimlari (GPS va GLONASS) ikki qismdan iborat: Yer atrofida bir xil masofada joylashgan 24-29 sun'iy yo'ldoshdan iborat orbital yulduz turkumi va sun'iy yo'ldoshlarda vaqt sinxronizatsiyasini va yagona koordinata tizimidan foydalanishni ta'minlaydigan Yerdagi boshqaruv segmenti. Sun'iy yo'ldoshlar juda aniq atom soatlariga ega, qabul qiluvchilarda (GPS-navigatorlar) oddiy, kvarts soatlari mavjud. Qabul qiluvchilar, shuningdek, istalgan vaqtda barcha sun'iy yo'ldoshlarning koordinatalari haqida ma'lumotga ega. Sun'iy yo'ldoshlar qisqa vaqt oralig'ida uzatishning boshlanish vaqti haqidagi ma'lumotlarni o'z ichiga olgan signalni uzatadi. Kamida to'rtta sun'iy yo'ldoshdan signal olgandan so'ng, qabul qiluvchi o'z soatini sozlashi va ushbu sun'iy yo'ldoshlargacha bo'lgan masofani formuladan foydalanib hisoblashi mumkin ((signal sun'iy yo'ldosh tomonidan yuborilgan vaqt) - (signal sun'iy yo'ldoshdan olingan vaqt)) x (yorug'lik tezligi) = (sun'iy yo'ldoshgacha bo'lgan masofa). Hisoblangan masofalar ham qabul qiluvchiga o'rnatilgan formulalar bo'yicha tuzatiladi. Keyinchalik, qabul qiluvchi yo'ldoshlardagi markazlar va ularga hisoblangan masofalarga teng radiuslar bilan sharlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topadi. Shubhasiz, bu qabul qiluvchining koordinatalari bo'ladi.
Lobachevskiy geometriyasining boshlang'ich nuqtasi Evklidning V postulati, parallel aksiomaga ekvivalent aksioma bo'ldi. Evklid elementlarida postulatlar ro'yxatiga kiritilgan. Uni shakllantirishning nisbiy murakkabligi va intuitiv emasligi uning ikkilamchi tabiati hissini uyg'otdi va uni Evklidning qolgan postulatlaridan teorema sifatida olishga urinishlarni keltirib chiqardi.
Beshinchi postulatni isbotlashga harakat qilgan ko'pchilik orasida, xususan, quyidagi taniqli olimlar bor edi.
1.Qadimgi yunon matematiklari Ptolemey (II asr) va Prokl (V asr) (ikki parallel orasidagi chekli masofani taxmin qilish asosida).
2.Iroqlik Ibn al-Xaysam (asr oxiri — asr boshlari) (toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar harakatlanuvchining oxiri toʻgʻri chiziqni tasvirlaydi, degan taxminga asoslanadi).
3.Eron matematiklari Umar Xayyom (2-yarmi - 12-asr boshlari) va Nosirad-Dinat-Tusiy (13-asr) (ikki yaqinlashuvchi chiziq kesishmasdan ajrala olmaydi degan taxminga asoslanadi).
4.Bizga ma'lum bo'lgan Evropada Evklidning parallelizm aksiomasini isbotlash uchun birinchi urinish Provansda (Fransiya) yashagan Gersonid (aka Levi ben Gershom, 14-asr) tomonidan taklif qilingan. Uning isboti to'rtburchaklar mavjudligi haqidagi da'voga tayangan.
Lobachevskiy “Geometriya asoslari to‘g‘risida” asarida “Yevklid bo‘lmagan geometriyaga oid birinchi bosma asari”da beshinchi postulatni Evklid geometriyasining boshqa asoslari asosida isbotlab bo‘lmaydi, va Evklidning postulatiga qarama-qarshi bo‘lgan postulat farazi aniq ta’kidlangan postulat, xuddi Evklid singari mazmunli va qarama-qarshiliklardan holi geometriyani qurishga imkon beradi.

Bir vaqtning o'zida va mustaqil ravishda, Yanos Bolyai shunga o'xshash xulosalarga keldi va Karl Fridrix Gauss bundan oldin ham shunday xulosaga kelgan. Biroq, Bolyai yozgan narsalar e'tiborni jalb qilmadi va u tez orada bu mavzudan voz kechdi, Gauss esa nashr qilishdan butunlay voz kechdi va uning qarashlarini faqat bir nechta xat va kundalik yozuvlardan baholash mumkin. Masalan, Gauss 1846 yilda astronom G. X. Shumaxerga yo‘llagan maktubida Lobachevskiy ijodi haqida quyidagicha gapirgan.

Bu ish, agar Evklid geometriyasi to'g'ri bo'lmasa, amalga oshishi kerak bo'lgan va bundan tashqari, qat'iy izchil bir butunlikni tashkil etuvchi geometriyaning asoslarini o'z ichiga oladi. Lobachevskiy buni "xayoliy geometriya" deb ataydi. Bilasizmi, 54 yil davomida men qandaydir rivojlanish bilan bir xil fikrdaman, bu yerda eslatib o'tmoqchi emasman. Shunday qilib, men Lobachevskiyning ishida o'zim uchun hech qanday yangilik topmadim. Lekin mavzuni rivojlantirishda muallif men o‘zim tutgan yo‘ldan bormadi. Lobachevskiy tomonidan chinakam geometrik ruhda mahorat bilan bajarilgan. Men sizlarning e'tiboringizni ushbu ishga qaratishga majburman, albatta, bu sizga juda katta zavq bag'ishlaydi.
Natijada, Lobachevskiy yangi geometriyaning birinchi yorqin va izchil targ'ibotchisi sifatida harakat qildi. Lobachevskiyning geometriyasi spekulyativ nazariya sifatida rivojlangan va Lobachevskiyning o'zi uni "xayoliy geometriya" deb atagan bo'lsa-da, lekin u birinchi bo'lib uni aql o'yini sifatida emas, balki mumkin va foydali nazariya sifatida ochiq taklif qilgan. fazoviy munosabatlar. Biroq, uning izchilligining isboti keyinroq, talqinlari (modellari) ko'rsatilganda keltirildi.