Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi guliston davlat universiteti fizika – matematika fakulteti Matematika

1.3 Topologik fazolarda oʻlcham
Umumiy topologiya fani o‘rganadigan asosiy va o‘rta geometrik-topologik invariantlar qatoriga topologik fazolar o‘lchami tushunchasi ham kiradi. Bu invariant to‘g‘ri chiziq, ko‘pburchak, fazo, ko‘pyoqlilar va hokazolarning elementar-geometrik o‘lchamlari tushunchasining o‘lchovlar sonini umumlashtiruvchi topologik invariantdir. Bu invariant hollarda arifmetik fazo qism to‘plamlarining topologik xarakteristikasini berish uchun ham juda muhimdir.
Masalan, to‘g‘ri chiziq va kesma, tekislik va kvadrat o‘lchovlari, fazoda kub o‘lchamlari biz tasavvur qilganimizdek, mos ravishda 1, 2 va 3 ga tengdir. Bu invariant yordamida ko‘p geometrik figuralarga, masalan, chiziq tushunchasiga umumiy ta’rif beriladi.
O‘lchamlar nazariyasida asosan (albatta, topologik invariant) uchta klassik , va o‘lcham funksiyalari mavjud bo‘lib, bu bo‘limda ular bilan tanishtirib o‘tiladi.
Nol o‘lchamli topologik fazolar.
1-Ta’rif. Agarda ning ixtiyoriy atrofi uchun shunday atrof topilsa va u hamda shartni qanoatlantirsa, topologik fazo nuqtada nol o‘lchamli fazo deyiladi (o‘lchami nol). Bunda ning barcha chegaraviy nuqtalaridan tashkil topgan toʻplam yoki ning chegarasi.
2-Ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan topologik fazo o‘zining har bir nuqtasida nol o‘lchamga ega bo‘lsa, nol o‘lchamli fazo deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.
Agar topologik fazo, agar har bir nuqtasi bo‘sh to‘plamdan iborat atrofga ega bo‘lsa, nol o‘lchamli bo‘lar ekan.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, fazoning nol o‘lchamli yoki nuqtada nol o‘lchamli bo‘lishi xossasi topologik invariantdir.
Fazoning nol o‘lchamli bo‘lishini quyidagicha ta’riflash ham mumkin. Fazoning elementlari bir vaqtda ham ochiq, ham yopiq to‘plamlardan iborat bo‘lsa, fazo nol o‘lchamlidir.
1-Misol. Har bir chekli yoki sanoqli topolgik fazo nol o‘lchamlidir.
Deylik, ochiq to‘plam birorta nuqtaning atrofi bo‘lsin. Bu holda nuqtaning shunday atrofi(shar) topiladiki, o‘rinlidir. lar ning nuqtalari bo‘lsin. Bu holda . Endi shunday son topiladiki, u va uchun o‘rinli bo‘lishi zarur. U holda shar atrofi uchun va .
Bu misoldan xususiy holda barcha natural, butun va ratsional sonlar to‘plami nol o‘lchamli ekanligi ko‘rinadi.