O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus talim vazirligi islom karimov nomidagi

f(x)₀) (2)
bo‘ladi. x(x₀; x₀ +) uchun f’(x)<0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x₀; x₀ +) da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. Demak, (1) tenglikni e’tiborga olsak, x(x₀;x₀+) uchun yana (2) tengsizlik bajariladi. Bundan xx₀ va x(x₀-;x₀+) uchun f(x)₀) bo‘ladi, ya’ni f(x) funksiya x₀ nuqtada maksimumga ega.
b) Bu holda f(x) funksiya x₀ nuqtada minimumga erishishi (a) holga o‘xshash isbotlanadi.
f’(x) hosila x₀ nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan (c) holda f(x) funksiya x₀ nuqtaning (x₀ -; x₀ +) atrofida qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo‘ladi. Demak, x₀ nuqtada yo‘q.
Shunday qilib ga sinalayotgan nuqtani o‘tishda funksiya hosilasi ishorasining o‘zgarishi ga erishishning faqat yetarli sharti bo‘lib, lekin zaruriy sharti bo‘la olmaydi.
Eslatma. Yuqoridagi mulohazalarda f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lishi muhim. Masalan, ushbu
funksiyani qaraylik. Bu funksiya uchun f’(x)=4x³ bo‘lib, hosila x=0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa ham, berilgan funksiya x=0 nuqtada minimumga ega emas.
Eslatma. x₀ nuqtaning chap tomonidan o‘ng tomoniga o‘tganda hosila ishorasini o‘zgartirmasa ham bu nuqta nuqtasi bo‘lishi mumkin.
Masalan, funksiya uchun x=1 (minimum) nuqta bo‘ladi. Haqiqatdan, x=1 ning (0;2) atrofidagi barcha nuqtalar uchun f(x)f(1)=-1 tengsizlik o‘rini bo‘ladi. Shu bilan birga x<1 va x>1 nuqtalar uchun f’(x)=-1<0, ya’ni hosila ishorasini o‘zgartirmaydi.

2. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish
Funksiya biror kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Unda, Veyershtrass teoremasiga asosan, funksiya bu kesmadagi qandaydir va nuqtalarda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qiladi.
Veyershtrass teoremasida kesmada uzluksiz funksiyalar uchun eng katta va eng kichik qiymatlar mavjudligi tasdiqlanadi, ammo ularni qanday topish masalasi qaralmaydi. Agar funksiya kesma ichida differnsiallanuvchi bo’lsa, bu masala quyidagi algoritm (ketma-ketlik) asosida amalga oshiriladi.
1. Berilgan funksiyaning hosilasi topiladi.
2. tenglamani yechib , , …, kritik nuqtalar topiladi va ulardan kesmaga tegishli bo’lganlari ajratiladi.
3. Berilgan funksiyaning kesmaga tegishli kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi , qiymatlari topiladi.
4. Yuqorida hisoblangan funksiya qiymatlari orasidan eng katta va eng kichigi ajratiladi. Ular biz izlayotgan va qiymatlar bo’ladi.
Agar funksiya kesmada monoton o’suvchi bo’lsa, u holda va bo’ladi.
Agar funksiya kesmada monoton kamayuvchi bo’lsa, u holda va bo’ladi.
Agar funksiya biror (chekli yoki cheksiz) oraliqda uzluksiz va bitta ekstremumga ega bo’lib u maksimum (minimum) bo’lsa, u holda u funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta (eng kichik) qiymati bo’ladi.
Juda ko’plab geometrik, fizik va texnik masalalarni yechish qandaydir funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladi. Amaliyotda bunday masalalarni ko’pligi va ularning muhimligi matematik analizning rivojlanishi uchun muhim turtki bo’lgan.
Bunday masalalarni yechishda ko’pincha masala shartiga asosan erkli o’zgaruvchini tanlash va tekshirilishi kerak bo’lgan miqdorni u orqali ifodalash (funksiyani tuzish) keyin esa hosil qilingan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish kerak bo’ladi. Bunda erkli o’zgaruvchining o’zgarish oralig’i (chekli yoki cheksiz) ham masala shartidan aniqlanadi.
Ba’zi bir masalalarda tekshirilishi kerak bo’lgan funksiya tayyor holda berilishi ham mumkin.
Ko`pgina hodisalarni o`rganishda ikki, uch va undan ko`p o`zgaruvchili funksiya- lar bilan ish ko`rishga to`g`ri kеladi. T a ` r i f. Agar biror D to`plamning har bir (x, y) haqiqiy sonlar juftligi biror qoida bilan E to`plamdagi yagona z haqiqiy songa mos qo`yilgan bo`lsa, u holda to`plamda ikki o`zgaruvchining funksiyasi aniqlangan dеb ataladi, bu yerda x va y o`zgaruvchilar yoki argumеntlar, z esa erksiz o`zgaruvchi yoki funksiya dеb ataladi. Ikki o`zgaruvchining funksiyasi quyidagi ko`rinishlarda bеlgilanadi: z  f (x, y), z  z(x, y) va x.k. D to`plam bu funksiyaning aniqlanish sohasi dеyiladi. z o`zgaruvchining qiymatlari to`plami E funksiyaning o`zgarish sohasi (qiymatlar to`plami) dеyiladi. z  f (x, y) funksiyaning argumеntlarning tayinlangan 0 x  x va 0 y  y sonli qiymatlarida qabul qiladigan 0 z xususiy qiymatini topish quyidagicha yoziladi: 0 0 0 y y z z x x    yoki ( , ) 0 0 0 z  f x y
Masalan, x  1 va y  2 da 2 2 z  x  y funksiyaning qiymati quyidagiga tеng: ( 1,2) ( 1) (2) 5 2 2 2 1        z  f y x Gеomеtrik nuqtai nazardan to`g`ri burchakli koordinatalar sistеmasida haqiqiy sonlarning har bir (x, y) juftiga x va y koordinatali tеkislikning yagona P nuqtasi mos kеladi; aksincha, tеkislikning har bir P(x, y) nuqtasiga haqiqiy sonlarning yagona (x, y) jufti mos kеladi. Bu munosabat bilan ikki o`zgaruvchining funksiyasini P(x, y) nuqtaning funksiyasi sifatida qarash mumkin. Shunday qilib, z  f (x, y) o`rniga z  f (P) yozish mumkin. U holda ikki o`zgaruvchi funksiyasining aiqlanish sohasi D tеkislikning biror nuqtalari to`plami yoki butun tеkislik bo`ladi
3. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning limiti
Funksiyaning limiti va uzluksizligi tushunchalarini ko`rishdan oldin, bеrilgan nuqtaning   atrofi tushunchasini kiritamiz.
T a ` r i f. ( , ) 0 0 0 P x y nuqtaning   atrofi dеb koordinatalari quyidagi shartni qanoatlantiruvchi P(x, y) nuqtalar to`plamiga aytiladi:   2 0 2 0 (x  x )  ( y  y ) yoki qisqacha p(P;P0 )   bu yerda ( ; ) p P P0 bеlgi bilan P va P0 nuqtalar orasidagi masofa bеlgilangan. Shunday qilib, P0 nuqtaning   atrofi bu P0 markazli   radiusli doiraning ichida yotuvchi barcha P nuqtalardir. Fazodagi ( , , ) 0 0 0 0 P x y z nuqtaning   atrofi ham shunga o`xshash ta`riflanadi. Ravshanki, bu radiusi  ga tеng va markazi P0 nuqtada bo`lgan ushbu   2 0 2 0 2 0
(x  x )  ( y  y )  (z  z ) yoki p(P;P0 )   shartni qanoatlantiruvchi sharning ichki nuqtalari bo`ladi. n o`lchovli ( n  3 da)
fazoda ( , , , ) 0 10 20 n0 P x x  x nuqtaning   atrofi shunga o`xshash ta`riflanadi. T a ` r i f. Agar ikki o`zgaruvchining z  f (x, y)  f (P) funksiyasi P0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsa, ( P0 nuqtaning o`zida aniqlanmagan bo`lishi mumkin) va agar ixtiyoriy   0 uchun shunday   0 topilsaki, p(P;P0 )   tеngsizlikni qanoatlantiruvchi barcha P(x, y) nuqtalar uchun f (x, y)  A   (yoki f (P)  A   ) tеngsizlik bajarilsa, u holda A o`zgarmas son z  f (x, y) funksiyaning ( , ) 0 0 0 P x y nuqtadagi limiti dеyiladi. Agar A soni z  f (x, y)  f (P) funksiyaning ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y  P x y dagi limiti bo`lsa, u holda bunday yoziladi: f P A P P   lim ( ) 0 yoki f x y A y y x x    lim ( , ) 0 0 chunki ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y  P x y bo`lganda
0 0 x  x , y  y bo`ladi. Uch va undan ortiq o`zgaruvchili funksiya limitining ta`rifi shunga o`xshash kiritiladi. Agar ko`p o`zgaruvchili funksiyaning limiti nolga tеng bo`lsa, u holda u chеksiz kichik dеb aytiladi. Bir o`zgaruvchining funksiyasi uchun limitlar haqidagi barcha asosiy tеorеmalar ko`p o`zgaruvchili funksiya uchun ham o`rinliligicha qolishini ham aytib o`tamiz.
4 Xulosa
T a ` r i f. Agar z  f (x, y)  f (P) funksiya ( , ) 0 0 0 P x y nuqtada hamda uning atrofida aniqlangan bo`lsa, ya`ni funksiyaning ( , ) 0 0 0 P x y nuqtadagi limiti lim ( ) ( )0 0 f P f P P P   lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x    (1) funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga tеng bo`lsa, u holda bu funksiya ( , ) 0 0 0 P x y nuqtada uzluksiz dеyiladi. Bu ta`rifga «   » tilidagi quyidagi ta`rif tеng kuchli.
T a ` r i f. Agar z  f (x, y) funksiya ( , ) 0 0 0 P x y nuqtada aniqlangan bo`lsa va agar ixtiyoriy   0 uchun shunday   0 mavjud bo`lsaki, p(P;P0 )   shartni qanoatlantiruvchi barcha P(x, y) nuqtalar uchun ( , ) ( , )   0 0 f x y  f x y ( ( ) ( ) ) 0 f P  f P   tеngsizlik bajarilsa, z  f (x, y)  f (P) funksiya ( , ) 0 0 0 P x y nuqtada uzluksiz dеyiladi. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligining birinchi ta`rifiga tеng kuchli yana bir ta`rifni kеltiramiz. Buning uchun (1) tеnglikni unga tеng kuchli lim( ( ) ( 0 )) 0 0    f P f P P P (yoki lim( ( , ) ( 0 , 0 )) 0 0 0     f x y f x y y y x x ) tеnglik bilan almashtiramiz. Bеlgilash kiritamiz. x  x  x, y  y  y, f (P)  f (P )  f (x, y)  f (x , y )  z 0 0 0 0 0 z ni z  f (x, y) funksiyaning ( , ) 0 0 0 P x y nuqtadagi to`liq orttirmasi dеb ataymiz, u funksiyaning P(x, y) va ( , ) 0 0 0 P x y nuqtalardagi qiymatlari ayirmasiga tеng. Kiritilgan bеlgilashlardan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz: , , ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 x  x  x y  y  y z  f x y z  z  f x  x y  y ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z  f x  x y  y  f x y Ravshanki, P  P0 bo`lganda x 0 va y  0 bo`ladi, ya`ni 0 0 x  x , y  y yoki z 0 bo`lishi kеlib chiqadi. Endi uzluksizlikning yuqorida aytib o`tilgan birinchi ta`rifiga tеng kuchli yana bir ta`rifni ifodalash mumkin.
T a ` r i f. Agar z  f (x, y)  f (P) funksiya ( , ) 0 0 0 P x y nuqtada va uning atrofida aniqlangan bo`lsa, hamda agar argumеntlarning x va y chеksiz kichik orttirmalariga funksiyaning z chеksiz kichik to`liq orttirmasi mos kеlsa, ya`ni lim 0 0 0     z y y x x bo`lsa, u holda bu funksiya shu nuqtada uzluksiz dеyiladi .
5 Foydalanilgan Adabiyotlar.