O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika- matematika fakulteti

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli sistemadagi tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan hol uchun o‘rinli bo‘ladi.
(3)
ko‘rinishdagi tenglamalar sistemalarini qaraymiz.
Tenglamalar sistemasi koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa determinantini d harfi bilan belgilaylik:
d =
Determinantni satr yoki ustun bo‘yicha yoyish xossalaridan quyidagilarga ega bo‘lamiz:
+ + …. + . (4)
Bundan tashqari,
+ + …. + = 0, i ≠j. (5)
Ya’ni, determinantning birorta ustunidagi hamma elementlarini
boshqa ustunning algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi
nolga teng.
Agar + + …. + yoyilmada j - ustunning elementlari ixtiyoriy n ta sonlar sistemasi , , … , bilan almashtirsak, hosil bo’ladigan
+ + …. + (6)
Ifoda d determinantning j - ustunini shu sonlar bilan almashtirish natijasida hosil bo’ladigan ushbu
=
Determinantning j - ustuni bo’yicha yoyilmasi bo’ladi.
1-teorema. Agar (3) sistemaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda bu sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
, , … , . (7)
Isbot. Aytaylik d ≠ 0 bo’lsin.

sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini ga, ya’ni elementning algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytiramiz. Ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini ga va hokazo, oxirgi tenglamani ga ko‘paytiramiz. Bu tengliklarning chap va o‘ng tomonlarini alohida-alohida qo‘shib, quyidagi tenglikka kelamiz:



+ + …. + .
Yuqorida qayd qilingan (4), (5) va (6) munosabatlardan, ushbu tenglikda oldidagi koeffitsient d ga, qolgan koeffitsientlarning barchasi nolga teng ekanligini, ozod had esa determinantga teng bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, yuqoridagi tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi:
d n.

d ≠ 0 bo’lganligi uchun , n kelib chiqadi.

Endi , , … , sonlar haqiqatdan ham (3) tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Buning uchun sistemaning i - tenglamasiga , , … , noma’lumlarning qiymatini qo’yamiz. i - tenglamaning chap tomonini ko’rinishda yozish mumkinligi va bo’lganligi uchun :

Bu almashtirishlarga soni barcha qo‘shiluvchilarda umumiy ko‘paytuvchi bo‘lib kelganligi uchun uni yig‘indi tashqarisiga chiqarishimiz mumkin. Bundan tashqari, qo‘shish tartibi o‘zgartirilgandan so‘ng, ko‘paytuvchi ichki yig‘indi belgisi tashqarisiga chiqarildi, chunki u ichki yig‘indi indeksi j ga bog‘liq emas.
Ma’lumki, + + …. + ifoda k = i bo‘lganda d ga, qolgan barcha k larda esa 0 ga teng. Shunday qilib, k bo‘yicha tashqi yig‘indida faqat bitta qo‘shiluvchi qoladi va u ga teng bo‘ladi, ya’ni

Bundan , , … , sonlar haqiqatdan ham (3) tenglamalar sistemasi uchun yechim bo’lishi kelib chiqadi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ushbu usuliga
Kramer usuli deyiladi.
Demak, Kramer usuli determinanti noldan farqli bo‘lgan n ta
noma’lumli n ta tenglamadan iborat chiziqli tenglamalar sistemasini
yechimini topish imkonini beradi.
Sistema determinanti nolga teng bo‘lgan hollarda Kramer usulini
qo‘llash maqsadga muvofiq emas. Chunki bu holatda tenglamalar
sistemasi yoki yechimga ega emas yoki cheksiz ko‘p yechimga ega
bo‘ladi