O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika- matematika fakulteti

Isbot. Haqiqatdan ham , A = 0 ekanligidan

Kelib chiqadi.
2.1 -teorema. Bir jinsli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy yechimi n-r ta chiziqli erkli yechimlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’ladi, bu yerda n- noma’lumlar soni, r=rank(A).
Isbot. Sistemani

ko’rinishida yozib olaylik.
r=rank(A) ekanligi uchun , , … , ustunlar jamlanmasida r ta ustun bazis bo’ladi. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda, dastlabki r ta , , … , ustunlarni ba’zis deb olish mumkin. Bu holda qolgan , , … , ustunlar , , … , ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi, ya’ni




Bu tengliklardan quyidagi n-r ta ustunning yechim ekanligini ko’rish qiyin emas,
, , …,
Ushbu keltirilgan , ,…, chuziqli erkli yechumlar bo’lib, barcha yechimlar ularning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.
, ,…, yechimlar jamlanmasi bazis yoki fundamental yechim deyiladi.
Sistemaning umumiy yechimi deb fundamental yechimning umuniy chiziqli kombinatsiyasiga aytiladi. Ularning biror aniq chiziqli kombinatsiyasi esa xususiy yechim bo‘ladi.

Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar vektor AX =0 sistemaning yechimi bo’lsa, u holda k vektor ham bu sistemaning yechimi bo’ladi.
   
2. 
   Agar AX =0 sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda + vektor ham bu sistemaning yechimi bo’ladi.
   

Shuning uchun bir jinsli sistema yechimlarining har qanday chiziqli
kombinatsiyasi ham uning yechimi boʻla oladi.
Bir jinsli boʻlmagan sistema yechimlari uchun yuqoridagi da’vo oʻrinli emas.
Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental
yechimlari sistemasi.
2 -ta’rif . Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.
2-teorema. AX =0 tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.
Isbot. vektorlar sistemasi AX=0 tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi bo’lsin. vektor esa tenglamalar sistemasing boshqa ixtiyoriy yechimi bo’lsin. U holdi, ta’rifaga asosan, vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq. Ya’ni shunday kamida bittasi noldan farqli sonlar mavjudki,

Agar bu tenglikda =0 bo’lsa, , ya’ni, vektorlar chiziqli bog’liq. Bu esa teorema shartiga zid. Demak, 0  0 . Shu sababli

Bu teoremadan muhim boʻlgan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.