O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti matematika va informatika fakulteti

1⁰. Funksional ketma-ketlik va limit funkstiya tushunchalari.
Funksional ketma-ketlik va limit funktsiya tushunchalari matematika sohasidagi muhim asosiy konseptlardan ikkitasi hisoblanadi.
Funksional ketma-ketlik: Funksional ketma-ketlik (yoki orqaliroq funksiya ketma-ketlik) bir funksiya (o'zgaruvchan)ning "x" qiymatiga yaqinlashganda qo'yilgan ketma-ketdir. Bu funksiya qiymatlari "x" qiymatidan nazorat etilganda, uning nazorat markazidagi o'qning "y" (funksiya qiymati)ga yakunlanishi tushuniladi. Funksional ketma-ketlik matematik ifodalarda lim asosida ifodalangan bo'lib, quyidagi shaklda ifodalash mumkin:
lim f(x) = L x->a
Bu formulda, "lim" limning belgisidir, "f(x)" funksiya, "x" nazorat markazi qiymati, "L" esa funksiyaning "x" qiymati "a" ga yaqinlashganda bo'lgan ketma-ketlik qiymatidir.
Limit funktsiya: Limit funktsiya, funksiyaning qiymati "x" ni "a" ga yaqinlashganda qayergacha borishi bilan bog'liq bo'lgan qiymatdir. Ya'ni, "x" qiymati "a" ga yaqinlashganda funksiyaning qiymati "L" ga yaqinlashganda, biz "f(x)" funksiyaning "x" ni "a" ga yaqinlashganda "L" ga yaqinlashishini ifodalaymiz.
Limit funktsiya matematik ifodalarda quyidagi shaklda ifodalangan bo'lib:
lim f(x) = L x->a
Bu formulda ham "lim" limning belgisidir, "f(x)" funksiya, "x" nazorat markazi qiymati, "L" esa funksiyaning "x" qiymati "a" ga yaqinlashganda bo'lgan limit qiymatidir.
Aytaylik, har bir natural n songa E  R to’plamda aniqlangan bitta f_n (x) funkstiyani mos qo’yuvchi qoida berlgan bo’lsin

Bu qoidaga ko’ra

f₁x ,
f₂ x
, ..., f_n x,...

(1)

to’plam hosil bo’ladi. Uni funksional ketma-ketlik deyi-ladi. ^E to’plam (1) funksional ketma-ketlikning aniqlanish to’plami deyiladi.

Odatda, (1) funksional ketma-ketlik, uning ⁿ -hadi yordamida
^{fn x} kabi belgilanadi. Masalan,
f_n x
yoki

x
f_n x  sin
n
: sin
,sin
1
,..., sin
2
^x ,...
n

lar funksional ketma-ketliklar bo’ladi va ularning aniqlanish to’plami mos ravishda
E  R , E  0,

bo’ladi. Ravshanki, ^x o’zgaruvchining biror tayinlangan ushbu
x  x₀  E
qiymatida

f_n x₀ : f₁x₀ , f₂ x₀ ,..., f_n x₀ ,...
sonlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz.

1. 
   ta’rif. Agar
   

f_n x₀ 
sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)

bo’lsa,
f_n x
funksional ketma-ketlik
x  x₀
nuqtada yaqinlashuvchi

(uzoqlashuvchi) deyiladi.
^x0 nuqta esa bu funksional ketma-ketlikning yaqinlashish

(uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.

2. 
   ta’rif.
   

f_n x
funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalarida

iborat
E₀  E
to’plam,
f_n x
funksional ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami

deyiladi.
Masalan, ushbu


f_n x  xⁿ : x, x² , x³ ,..., xⁿ ,...

funksional ketma-ketlik aniqlashish to’plami
E  R
bo’lib, u
x 1,1

nuqtada yaqinlashuvchi,

x  R \ 1,1

da uzoqlashuvchi bo’ladi. Demak, ketma-

ketlikning yaqinlashish to’plami
^{E0  1,1} bo’ladi.

Faraz qilaylik,
f_n x
funksional ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami

^{E0 E0  R} bo’lsin. Ravshanki, bu holda har bir
x  E_{0 da}

f₁x, f₂ x,..., f_n x,...
ketma-ketlik yaqinlashuvchi, ya’ni
lim f_n x n

mavjud bo’ladi. Endi har bir

x  E
lim f_n x
_ga n

ni mos qo’ysak, ushbu

f : x  lim f_n x n

funkstiya hosil bo’ladi. Bu limit funkstiyasi deyiladi:
f x
funkstiya
^{fn x} funksional ketma-ketlikning

lim f_n x 
n
f x x  E₀ 
.

Bu munosabat quyidagini anglatadi: ixtiyoriy ^{  0}
son va har bir
x  E₀
uchun

shunday natural
^{n0  n0  , x} son topiladiki, ixtiyoriy
n  n_{0 da}

ya’ni
f_n x  f x   _,

  0
bo’ladi.
, n_∘  n₀  , x N
, n  n₀ :
f_n x 
f x  

1. 
   misol. Ushbu
   

x
f_n x  nsin
n

funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi topilsin.

Berilgan funksional ketma-ketlik funkstiyasi
E  0,
da aniqlangan. Uning limit

f x  lim f_n
n

x  lim nsin

n
^x  lim
_n n
sin ^x
n  
x

bo’ladi. Demak, funksional ketma-ketlik

n
^{E  0,} da yaqinlashuvchi va

lim nsin ^x 
n _{n .}

2. 
   misol. Ushbu
   

n _{1 ,}
агар
x  1
бўлса

f_n x  n² ⁿ x  ^n1 x  x  0
funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi topilsin.
Berilgan funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi quyidagicha topiladi:
 ^{1 1} 

f x  lim f
x  lim n² ⁿ
x  ^n1 x  lim n^{2 } xⁿ
_{ x}n1 _{ }

n ⁿ
n
n ^{ }
 
1


1 _ 1 _ 1 _
n2 1


_xn² n _{ 1}

 lim n² x^{n1 } x^n
n1  1^  lim
_xn1 _

 ln x.

n ^

^ n _n² _{ n}
1


n²  n

2⁰. Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuv-chiligi. Faraz qilaylik, ^{fn x}
f₁x , f₂ x,..., f_n x,...
funksional ketma-ketlik ^E∘ to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni yaqinlashish

to’plami ^E0 ) bo’lib, uning limit funkstiyasi
^{f x} bo’lsin:

Ma’lumki, bu munosabat
lim f_n x 
n
f x
.

  0 ,
n₀  n₀  , x N ,
n  n₀ :
f_n x 
f x  

bo’lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural
ⁿ⁰ son

ixtiyoriy olingan
  0
son bilan birga qaralayotgan
x  E₀
nuqtaga ham boђliq

bo’ladi (chunki,
x  E₀
ning turli qiymatlarida ularga mos ketma-ketlik, umuman

aytganda turlicha bo’ladi).

3. 
   ta’rif. Agar
   

  0
son olinganda ham shu
  0
gagina boђliq bo’lgan

natural
n  n
^{ } son topilsaki,
n  n
va ixtiyoriy
x  E _da

0 0 ⁰
f_n x 
0
f x  

bo’lsa,
f_n x

funksional ketma-ketlik

^E0 to’plamda
f x

ga tekis

yaqinlashadi (funksional ketma-ketlik ^E0
to’plamda tekis yaqinlashuvchi) deyiladi.

Shunday qilib,
f_n x
funksional ketma-ketlik
^E0 to’plamda
f x
limit

funkstiyaga ega bo’lsa, uning shu limit funkstiyasiga yaqinalishish ikki xil bo’lar ekan:
₁₎   0 , n₀  n₀  , x N ,n  n₀ : f_n x  f x  

bo’lsa,
f_n x
funksional ketma-ketlik
^E0 da
f x
ga yaqinlashadi (oddiy

yaqinlashadi). Bu holda

kabi belgilanadi.

f_n x f x x  E₀ 

₂₎   0 ,
n₀  n₀   N ,
n  n₀ ,
x  E₀ :
f_n x 
f x  


bo’lsa, holda
f_n x
funksional ketma-ketlik
^E0 da
f x
ga tekis yaqinlashadi. Bu

kabi belgilanadi.

f_n x^ f x x  E₀ 

Ravshanki,
f_n x
funksional ketma-ketlik ^E0
to’plamda
f x
funkstiyaga

tekis yaqinlashsa u shu to’plamda
^{f x} ga yaqinlashadi:


f_n x^ f x 
Aytaylik,
f_n x 
f x x  E₀ _.


f_n x^ f x x  E₀ 

bo’lsin . Bu holda ^{n  n0}
_va x  E_{0 da}

f_n x 
^{f x  } , ya’ni
f x  
f_n x 
f x 

bo’ladi. Bu esa
f_n x
funksional ketama-ketlikning biror hadidan boshlab,

keyingi barcha hadlari bildiradi (1-chizma)
f x
funkstiyaning " ^ -oraliђi"da butunlay joylashishini

1-chizma.

3. 
   misol. Ushbu
   

_{f x } sin nx
n _n

funksional ketma-ketlikning ^R da tekis yaqinlashuvchiligi ko’rsatilsin. Ravshanki,

lim f
x  lim ^{sin nx}  0

n ⁿ
n _{n .}

Demak, limit funkstiya
f x  0 _.

_Agar   0


son olinganda
_{n } ¹ 
⁰ _ _

deyilsa, unda ^{n  n0}

_va x  R

uchun

f_n x 
f x 
 0 
 ¹ 
n
¹  
n₀  1

bo’lishini topamiz. Demak ta’rifga binoan
sin nx _{ 0
n} 
bo’ladi.

Faraz qilaylik,
f_n x
funksional ketma-ketlik ^E0
to’plamda
f x
limit

funkstiyaga ega bo’lsin.

1-teorema.
f_n x
funksional ketma-ketlik ^E0
to’plamda
f x
funkstiyaga

tekis yaqilashishi uchun
bo’lishi zarur va etarli.
Zarurligi. Aytaylik,

limsup
n _xE0

f_n x 
f x  0


f_n x^ f x x  E₀ 
bo’lsin. Ta’rifga binoan

  0, n₀  n₀   N ,
n  n₀ , x  E₀ :
f_n x 
f x  

bo’lsin. Limit ta’rifga ko’ra

  0, n₀  N
bo’ladi. Ravshanki
n  n₀ , : Sup f_n x 
xE₀
f x  

U holda ^{x  E0}

f_n x 

uchun
f x  sup

xE₀
f_n x 
f x
.

bo’ladi. Bundan

f_n x 
f x  

bo’lishi kelib chiqadi.

5-misol. Ushbu
f_n x ^


f_n
f x x  E₀ 
x 

funksional ketama-ketlikning
E₀  R
da tekis yaqinlashuv-chiligi ko’rsatilsin.

Berilgan funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi

bo’ladi. Endi
f x  lim f_n
n
x  lim
n
 x x  R

ni topamiz:
Sup
xR

• 
  x  Sup
  

xR
sup
x
f_n x 

1

_n2
f x
 Sup ¹  ¹  ¹
xR ^{n2 n}

^{fn x} funksional ketma-ketlik ^E da tekis yaniqla-shishi shart emas.
Endi funksional ketma-ketlikning limit funkstiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz: