O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti Samarqand filiali Bank ishi 122 guruh mustaqil ish mavzu: Differensial hisobning asosiy teoremasi

2. Roll teoremasi
Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ga bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik. Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi. Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar  kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu xossaga ega bo‘lgan  kesmaga tegishli c nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi.
Roll teoremasi
2-teorema (Roll teoremasi). Agar  funksiya kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1)  da uzluksiz; 2)  da differensiallanuvchi; 3)  shartlarni qanoatlantirsa, u holda  bo‘ladigan kamida bitta  ) nuqta mavjud bo‘ladi.
Isbot. à Ma’lumki, agar  funksiya  kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya shu kesmada o‘zining eng katta  va eng kichik  qiymatlariga erishadi. Qaralayotgan  funksiya uchun ikki hol bo‘lishi mumkin.
1.  , bu holda  kesmada  va  bo‘ladi. Ravshanki,  tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida  ning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin.
2.  , bu holda teoremaning  shartidan funksiya  yoki  qiymatlaridan kamida birini  kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun  bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra  uchun  tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Endi  ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra  funksiya  intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.
bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. ¨
R oll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin (2-rasm). Agar  kesmada uzluksiz,  intervalda differensiallanuvchi  funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda  funksiya grafigida abssissasi  bo‘lgan shunday  nuqta topiladiki, shu 2-rasm
nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga parallel bo‘ladi.
2-izoh. Roll teoremasining shartlari yetarli bo‘lib, zaruriy shart emas. Masalan, 1)  ,  funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.
, lekin  bo‘ladi.
2)   funksiya uchun Roll teoremasining barcha shartlari bajarilmaydi, lekin  intervalning ixtiyoriy nuqtasida  bo‘ladi.