O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti Samarqand filiali Bank ishi 122 guruh mustaqil ish mavzu: Differensial hisobning asosiy teoremasi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI



Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti Samarqand filiali
Bank ishi 122 guruh
MUSTAQIL ISH
Mavzu: Differensial hisobning asosiy teoremasi.

BAJARDI: Mustafoyeva Mashhura

TEKSHIRDI: Ubaydullayev Uluğbek

Reja:
Kirish

1. Funksiya deferensiali.
2. Roll teoremasi
3. Lograng teoremasi.
4. Koshi teoremasi.
5. Lapital qoidasi.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

1. 
   Funksiya deferensiali.
   

Differensial (nuqtada) funksiya - bu differentsialga ( ma'lum nuqtada) ega bo'lgan funktsiyadir . Ayrim to‘plamda differentsiallanuvchi funksiya berilgan to‘plamning har bir nuqtasida differentsiallanuvchi funktsiyadir. Differentsiallik matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, matematikaning o'zida ham, boshqa tabiiy fanlarda ham juda ko'p qo'llanilishiga ega.

Berilgan nuqtada differentsiallanadigan funktsiyaning o'sishi argumentning kichiklikning yuqori darajali qiymatlarigacha o'sishining chiziqli funktsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, berilgan nuqtaning etarlicha kichik qo'shnilari uchun funktsiyani chiziqli bilan almashtirish mumkin (funktsiyaning o'zgarish tezligi o'zgarmagan deb hisoblanishi mumkin). Funktsiya o'sishning chiziqli qismi uning differentsiali (ma'lum nuqtada) deb ataladi.

Diferansiyellik uchun zarur, ammo etarli bo'lmagan shart - bu funktsiyaning uzluksizligi . Bitta haqiqiy o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, differentsiallik hosilaning mavjudligiga ekvivalent bo'ladi . Bir nechta real o'zgaruvchilar funksiyasi bo'lgan taqdirda, differentsiallikning zaruriy (lekin etarli emas) sharti barcha o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarning mavjudligi hisoblanadi. Bir nechta oʻzgaruvchili funksiya nuqtada differentsial boʻlishi uchun qisman hosilalarning koʻrib chiqilayotgan nuqtaning qaysidir qoʻshnisida mavjud boʻlishi va berilgan nuqtada uzluksiz boʻlishi kifoya.

Murakkab o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, nuqtadagi differentsiallik ko'pincha monogenlik deb ataladi va real holatda differentsiallik tushunchasidan sezilarli farq qiladi. Bunda asosiy rolni Koshi-Riman sharti o'ynaydi . Nuqtaga yaqin joyda monogen bo'lgan funksiya bu nuqtada golomorf deyiladi . 

Funktsional tahlilda cheksiz o'lchamli bo'shliqlarni xaritalash holatiga - Gateau va Frechet hosilalari uchun differentsiatsiya tushunchasini umumlashtirish mavjud .
Differensiallanuvchi funksiya tushunchasini umumlashtirish subdifferent-siallanuvchi , superdifferentsiallanuvchi va kvazifferentsiallanuvchi funksiyalar tushunchasidir.
Yagona o’zgaruvchan funksiya
Funktsiya {\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}} bitta o'zgaruvchi bir nuqtada differentsiallanadi{\displaystyle x_{0}) uning ta'rif sohasi{\displaystyle M} agar shunday doimiy mavjud bo'lsa{\displaystyle a}, nima

raqam esa a{\displaystyle a} muqarrar ravishda hosilaga teng

Bitta o‘zgaruvchining funksiyasi nuqtada differentsiallanadi{\displaystyle x_{0}) agar va faqat shu nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa.
Funktsiya grafigi{\displaystyle y=f(x)} tekislikdagi egri chiziqdir{\displaystyle Oxy}, va chiziqli funktsiyaning grafigi{\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}
nuqtada chizilgan bu egri chiziqqa tangens chiziqni beradi{\displaystyle x_{0}) .
Masalan, funktsiya{\ displaystyle f (x) = x ^ {2}) sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgani uchun har qanday real nuqtada aniqlanadi va differensiallanadi
Bitta o‘zgaruvchining funksiyasi nuqtada differentsiallanadi{\displaystyle x_{0}) agar va faqat shu nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa.
Funktsiya grafigi{\displaystyle y=f(x)} tekislikdagi egri chiziqdir{\displaystyle Oxy}, va chiziqli funktsiyaning grafigi {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}nuqtada chizilgan bu egri chiziqqa tangens chiziqni beradi{\displaystyle x_{0}). Masalan, funktsiya{\ displaystyle f (x) = x ^ {2}) sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgani uchun har qanday real nuqtada aniqlanadi va differensiallanadi. {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2})
Bundan tashqari, uning hosilasi{\displaystyle f'(x_{0})=2x_{0}}, va nuqtada chizilgan tangens chiziq tenglamasi{\displaystyle x_{0}), kabi ko'rinadi:{\displaystyle y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})}
Elementar funksiyalar bir nuqtada uzluksiz bo'lishi mumkin, lekin u erda farqlanmaydi. Masalan, funktsiya{\displaystyle f(x)=|x|} butun real o'qda uzluksiz, lekin uning hosilasi nuqtadan o'tayotganda sakrashni boshdan kechiradi{\displaystyle x=0} , bu erda bu funktsiyani farqlash mumkin emas. Bu vaqtda funksiya grafigiga tangens chizish ham mumkin emas. 
Funktsiya{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} butun real o'qda ham uzluksiz va uning grafigi barcha nuqtalarda tangenslarga ega, lekin bir nuqtada chizilgan tangens{\displaystyle x=0}, vertikal chiziq va shuning uchun funktsiyaning hosilasidir{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} bir nuqtada cheksiz katta{\displaystyle x=0}, va funksiyaning o'zi bu nuqtada farqlanmaydi.
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2}) Misol. Ushbu funksiyaning uchinchi tartibli hosilasi topilsin.
Funksiyaning uchinchi tartibli hosilasi quyidagicha topiladi:
,
,
.
Funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini topish uchun uning hamma oldingi tartibli hosilalarini hisoblash kerak bo‘ladi. Biroq ayrim funksiyalarning -tartibli hosilalarini bir yo‘la topish imkonini beradigan formulalar mavjud. Quyida bunday formulalarning ba’zilarini keltiramiz:
1. uchun

bo‘ladi.
2. uchun
,
hususan,

bo‘ladi.
3. lar uchun
,
.