O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti Samarqand filiali Bank ishi 122 guruh mustaqil ish mavzu: Differensial hisobning asosiy teoremasi

1-misol. Ushbu  kesmada  funksiya uchun Lagranj formulasidagi c ning qiymatini toping.
Yechish. Funksiyaning kesma uchlaridagi qiymatlarini va hosilasini hisoblaymiz:  ;  ;  . Olingan natijalarni Lagranj formulasiga qo‘yamiz, natijada
yoki  kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz:  . Topilgan ildizlardan faqat  qaralayotgan kesmaga tegishli. Demak,  ekan.
Lagranj teoremasi o‘z navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi bo‘ladi.
4. Koshi teoremasi
4-teorema (Koshi teoremasi). Agar  kesmada  va  funksiyalar berilgan bo‘lib, 1)  da uzluksiz; 2)  intervalda  va  mavjud, hamda  bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday nuqta topilib,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. à Ravshanki,  tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun  bo‘lishi kerak. Bu esa teoremadagi  ,  shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar  bo‘lsa, u holda  funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror  nuqtada  bo‘lar edi. Bu esa  da  shartga ziddir. Demak,  .
Endi yordamchi
funksiyani tuzaylik.
Shartga ko‘ra  va  funksiyalar  da uzluksiz va  intervalda differensiyalanuvchi bo‘lgani uchun  birinchidan  kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan  intervalda

hosilaga ega.
So‘ngra  funksiyaning  va  nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:  . Demak,  funksiya  kesmada Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday  nuqta topiladiki,  bo‘ladi. Shunday qilib,

va bundan (4) tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. ¨
Isbotlangan (4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi.