O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika ta‘lim yo‘nalishi 152-guruhi talabasi Rustamova Muniraning tayyorlagan kurs ishi

2-Lemma. o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan chiziqli operator va bo‘lsin.
Agar ushbu
.
funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga ega bo‘lsa, u holda

munosabatdan . tenglik kelib chiqadi.
Isbot. Ravshanki, . Darxaqiqat, agar bo‘lsa, u holda
.
munosabat maksimal qiymat ekanligiga zid bo‘lar edi (chunki ).
-ixtiyoriy xaqiqiy son bo‘lsin. Ushbu

Elementni olsak, va bo‘lgani sababli . Endi,

Ekanligini hisoblash oson, bu yerda son ning xaqiqiy qismi. Olingan son cheksiz kichik bo‘lganda .
Bu munosabatdan ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa , u holda _{sonning modulini o‘zgartirmagan holda ishorasini shunday tanlash mumkinki,} tengsizlik bajariladi. Bu esa ning maksimal ekanligiga zid. Demak, .*

1. 
   Biror kadamdan so‘ng hosil bo‘lgan qism fazodagi ixtiyoriy uchun
   

;

2. 
   Ixtiyoriy uchun shartni qanoatlantiruvchi element mavjud.
   

Birinchi holda 2-lemmaga asosan munosabatdan tenglik kelib chiqadi (chunki bu holda lemmadagi sifatida ixtiyoriy elementni olish mumkin). Demak, ixtiyoriy uchun , ya’ni qism fazo xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlardan iborat, ya’ni sistema cheklidir.
Ikkinchi holda cheksiz sistema hosil bo‘lib, ularga mos keluvchi sonlar noldan farqlidir. Endi ushbu munosabatni isbotlaymiz. Ixtiyoriy element uchun sonlar elementining ortonarmal sistemasi bo’yicha Fure koeffitseyentlari bo‘lgani sababli yaqinlashuvchi qatordir. Xususan, ixtiyoriy element uchun . Demak, ketma-ketlik elementga sust yaqinlashuvchidir. 1-teoremaga asosan ketma-ketlik elementga norma bo’yicha yaqinlashadi, ya’ni . Nihoyat, (1) yoyilmani isbotlaymiz.
_{orqali vektorlarning chziqli qobig’ining yoyilmasini belgilaymiz. Bunda} . Ravshanki, har qanday uchun . Demak, ixtiyoriy va uchun
.
Bunda ixtiyoriy bo’lgani va tufayli
.
So’ng 2-lemmani qism fazoga qo’llasak, yuqoridagi munosabatdan tenglik, ya’ni kelib chiqadi. Demak, . Bundan bevosita ko’rinib turibdiki, ixtiyoriy vector ushbu

.
Ko‘rinishga egadir. Bu yerda koeffitsiyentlar yagona ravishda topilishi sistemaning fazoda ortogonal bazisligidan kelib chiqadi, bundan esa xam yagonaligi ko‘rinib turibdi.*
Isbotlangan teorema keyingi integral tenglamalar nazariyasida juda muhim rol o‘ynaydi.
4-