O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika ta‘lim yo‘nalishi 152-guruhi talabasi Rustamova Muniraning tayyorlagan kurs ishi

1-§. Banax fazolarida to’la uzluksiz operatorlar
Banax fazolaridagi chiziqli operatorlarning eng muhim sinflaridan biri to’la uzluksiz operatorlardir. Bunday opertaorlarning xossalari chekli o’lchamli fazolardagi chiziqli operatorlarning xossalariga yaqin bo’lgani sababli ular yaxshi o’rganilgan sinfdir. Shu bilan birga to’la uzluksiz operatorlar nazariyasi juda muhim tarkiblarga ega.
Ta’rif: Banax fazosini Banax fazosiga akslantiruvchi chiziqli operator dagi birlik sharni dagi nisbiy kompakt to’plamga aks ettirsa, bu holda to’la uzluksiz (yoki kompakt) operator deyiladi. Demak,

bo’lsa u holda to’plam fazoning kompakt qismi bo’ladi.
Banax fazosida chegaralangan to’plamning ta’rifidan quyidagi natija bevosita kelib chiqadi: chiziqli operator to’la uzluksiz bo’lishi uchun ixtiyoriy chegaralangan to’plamning tasviri nisbiy kompakt bo’lishi zarur va kifoya.
Misollar:

1. 
   Chekli o’lchamli banax fazosida ixtiyoriy chiziqli operator to’la uzluksizdir. Darxaqiqat bu operator chegaralangan bo’lgani uchun u ixtiyoriy chegaralangan to’plamni chegaralangan to’plamga aks ettiradi. Chekli o’lchamli fazoda esa ixtiyoriy chegaralangan to’plam nisbiy kompaktdir.
   

2. 
   Banax fazosida quyidagi chiziqli operatorni olamiz:
   

3. 
   Agar funksiya kvadratda chegaralangan va uning uzilish nuqtalari ushbu
   

4. 
   egri chiziqlarda joylashgan bo’lib, uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda, operator to’la uzluksiz bo’ladi.
   

Bu iborani isbotlaymiz. Yuqoridagi operatorning ta’rifidan integralning mavjudligi, ya’ni funksiyaning aniqlanganligi bevosita kelib chiqadi. ning chegaralanganligiga asosan

kvadratda to’plamni quyidagicha aniqlaymiz: agar nuqta uchun

Tengsizlik kamida bitta uchun bajarilsa, nuqtani ning elementi deymiz. Ravshanki, -ochiq to’plam. Endi ushbu

To’plamni olamiz.

to’plamning kvadratdagi to’ldiruvchisini bilan belgilaymiz, ya’ni



to’plam yopiq(chunki - ochiq to’plam) va chegaralangan, ya’ni kompakt to’plam. tekis uzluksiz (2 bobdagi Kontor teoremasiga asosan ). Demak shunday mavjudki,

Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar uchun quyidagi tengsizlik o’rinli:

So’ng munosabat bajarilsa ushbu qiymatni baxolaymiz:

Endi orqali to’plamni belgilaymiz. U holda

to’plam va to’plamlarning yig’indisi bo’lgani uchun ning o’lchovi va to’plamlarning o’lchovlarining yig’indisidan katta emas. to’plamning aniqlanishidan ko’rinib turibdiki, uning o'lchovi uchun ushbu

tengsizlik o’rinli. Demak , ning o’lchovi sondan katta emas. Shuning uchun

to’plamda esa

munosabat o’rinli, demak,

Shunday qilib, tengsizlikdan

(1)
Munosabat kelib chiqadi, ya’ni funksiya uzluksiz. Demak, operator fazoni o’zini-o’ziga aks ettiradi. So’ng (1) tengsizlikdan ko’rinib turibdiki, fazoda

birlik sharni olsak, u holda ixtiyoriy uchun bo’lganda ushbu

tengsizlik o’rinli, ya’ni tekis darajada uzluksiz funksiyalar sistemasi.
Nixoyat , uchun

ya’ni tekis chegaralangan funksiyalar sistemasidir. 28-§dagi Arsela teoremasiga asosan nisbiy kompakt to’plamdir.
5.Yuqoridagi 4-misolda ko’rilgan operatorga qaytib, funksiyani bo’lganda nolga teng deb xisoblaymiz. U holda 4-misolning shartlari funksiya uchun bajariladi, chunki ning uzilish nuqtalari faqat birgina to’g’ri chiziqda joylashgan bo’lishi mumkin.
bo’lganda munosabatni hisobga olsak,

Bu operator chiziqli Volterra operatori deyiladi.

2-