O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika ta‘lim yo‘nalishi 152-guruhi talabasi Rustamova Muniraning tayyorlagan kurs ishi

§.Fredgolm teoremalari
Bu yerda ushbu
(1)
Tenglamani o’rganamiz. Navbatdagi mulohazalarda operatorning integral ko’rinishi emas, balki faqat uning to’la uzluksizligi ro’l o’ynaydi. Shuning uchun Gilbert fazosida biron to’la uzluksiz operatorni olib, (1) ko’rinishdagi tenglamani o’rganamiz. Buning uchun operatorni kiritgan holda ( -birlik operator ) (1) tenglamani ushbu
(2)
Ko’rinishda yozamiz. (2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo’lgan
(3)
Tenglamani va bularga qo’shma bo’lgan ushbu
( )
( )
Tenglamalarni ko’ramiz (bu yerda operator operatorga qo’shma, ya’ni )
Quyidagi isbotlanadigan Fredgolm teoremalari shu to’rt tenglamaning yechimlari orasidagi bog’lanishni ko’rsatadi.
1-Teorema. ( ) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun vektor tenglamaning xar bir yechimiga ortogonal bo’lishi zarur va kifoyadir,
Isbot. va lar operatorning mos ravishda yadrosi va qiymatlari soxasi, ya’ni


Ekanligini eslatamiz. Ma’lumki, uzluksiz bo’lgani uchun to’plam ning yopiq qism fazosi. ham ning yopiq qism fazosi ekanligini isbotlaymiz.
ketma-ketlik biron elementga yaqinlashuvchi bo’lsin, deb faraz qilaylik. Demak ushbu
(4)
Shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik mavjud. vektorlarni fazoga ortogonal deb hisoblash mumkin, aks holda o’rniga vektorlarni olish mumkin; bu yerda element vektorning qism fazoga proeksiyasi. Bundan tashqari, ketma-ketlik chegaralangandir. Darxaqiqat, aks holda deb hisoblash mumkin, demak, (4)ga asosan
(5)
Munosabat o’rinli.
So’ng ketma-ketlik birlik sharga tegishli bo’lgani va to’la uzluksiz ekanligi tufayli biror qism ketma-ketlik uchun biror elementga yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan (5) ga asosan ketma- ketlik ham shu limitga yaqinlashuvchi bo’ladi. Ravshanki (chunki ) va
Ya’ni . Ammo xar bir element ga ortogonal edi, demak, bundan va dan kelib chiqadi, bu esa tenglikka zid. Bu ziddiyat ketma-ketlikning chegaralanganligini ko’rsatadi. operator to’la uzluksiz bo’lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo’lgan qism ketma-ketlik ajratish mumkin. (4)ga asosan ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Bu limitni x bilan belgilasak, u holda
,
Ya’ni , demak, yopiqdir. teoremaga asosan operator ham bilan bir qatorda to’la uzluksiz bo’lgani sababli ham ning yopiq qism fazosi.
Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz.
(6)
(7)
Ravshanki, va o’zaro artogonal qism fazolar. Haqiqatdan, ixtiyoriy
va uchun

Demak, hech qanday vektor bir vaqtda va qism fazolarga ortogonal emasligini ko’rsatsak bas. Agar biror vektor ga ortogonal bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun
, ya’ni , demak, .
Shunga o’xshash (7) tenglik ham isbotlanadi. (7) munosabatdan 1-teorema bevosita kelib chiqadi, ya’ni bo’lishi uchun zarur va kifoyadir.
2-teorema. (Fredgolm alternativasi) Yoki (2) tenglama ixtiyoriy uchun yagona yechimga ega, yoki (3) tenglamaning noldan farqli yechimi mavjud.
Isbot. K natural son uchun orqali fazoni belgilaymiz, xususan . ning tuzilishidan ravshanki, va

1-teoremani isbotlash davomida ko’rsatilganidek, har bir yopiqdir.
Lemma. Shunday natural son mavjudki, ushbu

Tenglik ixtiyoriy uchun bajariladi.
Lemmaning isboti. Aksini faraz qilsak, hamma fazolar xar xil bo’ladi. Bu holda shunday ortonormal Sistema mavjudki, va . Demak , ixtiyoriy
sonlar uchun

Bu yerda bo’lgani uchun
,
Ya’ni ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo’lgan qism ketma-ketlikni ajratish mumkin emas. Bu esa operatorning to’la uzluksizligiga zid.
Teoremaning isbotini davom ettiramiz. Agar bo’lsa ( ya’ni (3)tenglama noldan farqli yechimga ega bo’lmasa ), u holda A monomorfizmdir. Shuning uchun agar deb faraz qilsak, u holda munosabatlar ixtiyoriy uchun o’rinlidir. Bu esa lemmaga zid. Demak, , ya’ni (2) tenglama ixtiyoriy uchun yagona yechimga egadir.
Agar (2) tenglama ixtiyoriy uchun yechimga ega bo’lsa, u holda va 1-teoremadagi (7) munosabatga asosan . Bu tenglikdan, yuqoridagidek munosabat kelib chiqadi. Endi (6) munosabatdan foydalansak, , ya’ni (3) tenglama faqat nolga teng yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.
3-teorema. va tenglamalarning chiziqli erkli bo’lgan yechimlari soni chekli va o’zaro tengdir. Boshqacha qilib aytganda,


Xulosa
Bitiruv malakaviy ishi “ To’la uzluksiz operator qatnashgan chiziqli tenglamalar”ni o’rganishga bag’ishlangan.
Mazkur bitiruv malakaviy ishida asosan quyidagilar o’rganilgan:
Banax fazosini Banax fazosiga akslantiruvchi chiziqli operator dagi birlik sharni dagi nisbiy kompakt to’plamga aks ettirsa, bu holda to’la uzluksiz (yoki kompakt) operator bo’lishi o’rganilgan.
Shu bilan bir qatorda to’la uzluksiz operatorlarning ketma – ketligi biror operatorga norma bo’yicha yaqinlashsa, u holda, ham to’la uzluksiz operator bo’lishi va E, F Banax fazolari bo’lsa, chiziqli operator to’la uzluksiz bo’lishi uchun uning qo’shma operatori to’la uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyaligi, Gilbert fazosidagi operator to‘la uzluksiz bo‘lishi uchun u ixtiyoriy sust yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka aks ettirishi zarur va kifoyaligi isbotlangan.
Gilbert fazosidagi to‘la uzliksiz operatorlar ko‘pgina qo‘shimcha xossalarga egaligi, bunda Gilbert fazosi o‘z - o‘ziga qo‘shma fazo ekanligi katta rol o‘ynashi o’rganilgan.