Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

OʻZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA OʻRTA
MAXSUS TAʻLIM VAZIRLIGI
BERDAQ NOMIDAGI QORAQALPOQ DAVLAT
UNIVERSITETI

MATEMATIKA fakulteti
AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA kafedrasi
Matematik modellashtirish fanidan
MUSTAQIL ISHI
Mavzu: Matematik modellashtirishda analogiya usilidan foydalanish.
Guruh: 4G Amaliy matematika
Bajardi: Rajapboyev A
Qabul qildi: Beknazarova G

Mavzu: Matematik modellashtirishda analogiya usilidan foydalanish.

Reja:

1. 
   Analogiya metodi.
   
2. 
   Matematik modellashtirishda analogiya usulidan foydalanib model qurish.
   
3. 
   Analogik modellar.
   

ANALOGIYA METODI

Matematik modellashtirish fanda muvaffaqiyatli qo'llaniladigan modellashtirish usulining eng ko'p qirrali, eng yuqori shaklidir. Jismoniy modellashtirish qadimdan tabiat hodisalarini bilish va qurish vositasi sifatida ma'lum bo'lgan. Jismoniy modellashtirishning eng oddiy shakli sifatida mexanik modellashtirishni olish mumkin, chunki bizni qiziqtirgan ob'ektni o'rganish laboratoriyada uning kichikroq yoki kattaroq modelini o'rganish bilan almashtiriladi. Misol uchun, geometrik va dinamik o'xshashlik mezonlari bajarilsa, shamol tunnelidagi samolyotning qisqartirilgan modeli atrofidagi oqim atmosferada uchayotgan samolyot tasvirini etarli darajada aniqlik bilan takrorlaydi. Jismoniy modellashtirishning murakkab turi analog modellashtirish bo'lib, unda ikki xil fizik jarayon (masalan, issiqlik o'tkazuvchanligi va elektr o'tkazuvchanligi o'rtasidagi o'xshashlik) va bitta tabiiy jarayon o'rtasida o'xshashlik o'rnatiladi. boshqa jismoniy tabiat jarayonlari bilan modellashtirilgan. Bu o'xshashlik matematik modellashtirishda ham dolzarb bo'lib, u nisbatan kam sonli oddiy matematik modellar ko'p sonli turli hodisalarni tushunish va o'rganish uchun kalit bo'lishi bilan tavsiflanadi. Masalan, elektr maydonining potentsiali o'tkazgichlar sirtdagi zaryadlar natijasida hosil bo'lgan va sirt ma'lum bir haroratga ega bo'lgan jismdagi harorat maydoni bilan bir xil differentsial tenglama bilan aniqlanadi. Turli fizik jarayonlarni nisbatan kam sonli matematik modellar qamrab olishi mumkin, bu jarayon haqidagi birinchi taxminlarning universalligi va ikkinchisining universalligi haqidagi xulosaga asoslangan matematik modellashtirish muvaffaqiyatining sabablaridan biridir.
MODELNI O'RGANISH
Muhim jihatlardan biri bu shakllangan modelni o'rganishdir. Olingan modellar, qoida tariqasida, faqat kombinatsiyaga (cheklangan shakldagi yechim) ruxsat beruvchi murakkab tenglamalar tizimidir. Faqat istisno hollarda ularni tekshirish usullarini ishlab chiqish juda muhimdir. Bu erda biz zamonaviy matematikaning katta qismini tashkil etuvchi sifatli usullarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin - usullar to'plami, qarorlarning aniq ifodasini bilmasdan qarorlar haqida ma'lum xulosalar chiqarish. Bular yechimning mavjudligi va o'ziga xosligini o'rganish usullari, uning barqarorligi, asimptotik xatti-harakat, o'lchovli tahlil, modellarning guruhli tahlili va boshqalar. Bunday nazariy tahlil sifatli raqamli usullarni ishlab chiqish va raqamli yechimning xususiyatlarini modellashtirishning keyingi bosqichida - hisoblash algoritmlarini loyihalashda bashorat qilish imkonini beradi. Yechimning analitik ifodalarini qidirishda va ishlashda kompyuterlardan foydalanish. analitik hisob-kitoblarning umumiyligi matematik modellarni o'rganish imkoniyatlarini sezilarli darajada kengaytiradi. Bugungi kunga qadar har qanday analitik o'zgarishlarni amalga oshirish uchun o'nlab maxsus dasturiy ta'minot tizimlari (Reduce, Maple, Mathematica va boshqalar) yaratilgan.
Analogik modellar.
Analog modellarda alohida elektr yoki mexanik elementlar biologik funktsiyani ifodalaydi. Misol uchun, analog mushak modeli mushaklarning elastik va yopishqoq elementlarini ifodalash uchun buloqlar va ishqalanish elementlaridan foydalanishi mumkin. Mexanik elementlar biologik mexanik xususiyatlar bilan bir xil aniqlovchi differensial tenglamalarga ega. Mexanik elementlar biologik mexanikani ifodalash uchun ishlatilsa, model kuchlari va tezliklar biologik kuchlar va tezliklarni ifodalaydi.
Uchta mexanik elementni o'z ichiga olgan skelet mushaklari modeli 1-rasmda ko'rsatilgan. Model 1930-yillarda A. V. Xill tomonidan izolyatsiya qilingan mushak preparatlari bo'yicha kashshof ishlarga asoslangan. PE bilan belgilangan prujina mushakning parallel elastik elementi va SE bilan belgilangan buloq seriyali elastiklikdir. Idoralar bilan belgilangan element mushak kuchini yaratish uchun mas'ul bo'lgan kontraktil elementdir. 12-bobda biz elastik elementlarning kuchni tezlik integrali bilan funktsional bog'lashini topamiz. Bu erdagi modelda ikkala elastik element ham chiziqli emas, shuning uchun ular ishlab chiqaradigan kuch va ular cho'zilgan tezlik o'rtasidagi bog'liqlik chiziqli emas. Qisqaruvchi element ham chiziqli emas va elementning tezligiga ham, boshlang'ich uzunligiga ham bog'liq bo'lgan kuch hosil qiladi. Ushbu modelning simulyatsiyasi shuni ko'rsatdiki, u mushaklarning ko'plab muhim kontraktil xususiyatlarini ifodalashi mumkin.

1-rasm. A.V.ning dastlabki eksperimental ishlariga asoslangan mushaklarning uch elementli modeli. Tepalik. Ushbu modelning simulyatsiyasi mushaklar qisqarishining muhim xususiyatlarini ifodalashi mumkinligini ko'rsatdi.
Analog yoki mexanik viskoelastik konstitutsiyaviy modellar
Yopishqoq elastik materiallarning o'tmishdagi tadqiqotlarida ko'pincha stress, kuchlanish tezligi, kuchlanish va kuchlanish tezligi o'rtasidagi soddalashtirilgan konstitutsiyaviy munosabatlarni ishlab chiqish uchun bir o'lchovli analog yoki mexanik modellardan foydalanilgan. Ushbu yondashuv sodda va notensorial bo'lsa-da, u elastik va yopishqoq xatti-harakatlarni turli yo'llar bilan birlashtirishga imkon beradi. Sxema, shuningdek, asosiy xususiyatlar va ta'riflarni keltirib chiqaradi va bu asoslarni ko'p o'lchovli munosabatlarga kengaytirish uchun vositani taqdim etadi.
Biz bu usulni asosiy elastik va yopishqoq elementlarni belgilash orqali boshlaymiz. Ushbu modellarda eksenel kuch doimiy stressni, eksenel deformatsiya va tezlik deformatsiya va deformatsiya tezligini ifodalaydi. Modellashtirish uchun maxsus kuchlanish yoki deformatsiya komponenti normal, kesish yoki hajmli bo'lishi mumkin; ammo, narsalarni ko'p o'lchovli munosabatlarga kengaytirish uchun qo'shimcha muhokama qilish kerak bo'ladi. Asosiy elastik element 6.32-rasmda ko'rsatilganidek, chiziqli kuch-deformatsiyaning qattiqligi E bo'lgan kamondir. Elementning konstitutsiyaviy qonuni soda

T = E
Faqat bahor elementi uchun bo'shashish va o'rmalash funktsiyalari oldingi ta'riflardan kelib chiqadi
G(t) = E
J(t) = 1/E
bularning barchasi doimiydir.
Asosiy yopishqoq element 6.32-rasmda ko'rsatilganidek, chiziqli kuch-deformatsiya tezligi yopishqoqligi ē bo'lgan dashpotdir va shuning uchun konstitutsiyaviy qonun
T =
E'tibor bering, bu erda qo'llaniladigan nuqtalar oddiy vaqt hosilalarini ko'rsatadi. Dashpot uchun dam olish va o'rmalash funktsiyalari
G(t) =
J(t) =