O’zbekiston respublikasi raqamli texnologiyalar vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalar universiteti urganch filiali

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALAR UNIVERSITETI URGANCH FILIALI
951-22 AXBOROT XAVFSIZLIGI GURUH TALABASI MATYOQUBOV SOTIBOLDINING DISKRET MATEMATIKA FANIDAN TOPSHIRGAN
MUSTAQIL ISHI



Topshiruvchi: Matyoqubov Sotiboldi
Qabul qiluvchi: Masharipova Fazilat

O’quv yili: 2023-2024

Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffesientlarning xossalari hosil qiluvchi funksiyalari va ularning kombinatorika masalarini yechishga tatbiqi.

Reja :

• 
  Kombinatorika qoidalari
  
• 
  Nyuton binomi haqida ma’lumot
  
• 
  Nyuton binomi orqali kombinatorikada misollar yechish
  

Kombinatorika – diskret matematikaning bo‘limlaridan biri bo‘lib, ehtimollar nazariyasi, matematik mantiq, sonlar nazariyasi, hisoblash texnikasi va kibernetikada ko‘p qo‘llanilgani uchun muhim ahamiyatga ega bo‘ldi.

Kombinatorikani mustaqil fan sifatida birinchi bo‘lib olmon matematigi G.Leybnits o‘rgangan va 1666 yilda «Kombinatorika san’ati haqida» asarini chop etgan
Qo‘shish qoidasi :
Agar biror  tanlovni m() usulda,  tanlovni esa m() usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa va bu yerda  tanlovni ixtiyoriy tanlash usuli  tanlovni ixtiyoriy tanlash usulidan farq qilsa, u holda « yoki » tanlovni amalga oshirish usullari soni
m( ёки ) = m() +m()
Ko‘paytirish qoidasi:
Agarda biror  tanlovni m() usulda,  tanlovni m() usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa, u holda « vа » tanlovni (yoki (,) juftlikni) amalga oshirish usullari soni
m( vа ) = m( ) · m( )
Kombinatorikaning 1-qoidasi:
Agar qandaydir A tanlashni m usul bilan, bu usullarning har biriga biror bir boshqa B tanlashni n usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa, u holda A va B tanlashni (ko‘rsatilgan tartibda) usulda amalga oshirish mumkin.
Kombinatorikaning 2-qoidasi:
Aytaylik birin-ketin k ta harakatni amalga oshirish talab qilngan bo‘lsin. Agar birinchi harakatni – n1 usulda, ikkinchi harakatni - n2 usulda, va hokazo k – harakatni - nk usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa, u holda barcha k ta harakatni n1*n2 *…*nk • usulda amalga oshirish mumkin bo‘ladi.
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi -tarixiy haqiqat emas, chunki Nyutondan oldin ushbu formulani Umar Xayyom (1046-1131), G‘iyos ad-Din Jamshid al-Koshi bilishgan. Nyutonning xizmati ushbu formulani butun bo‘lmagan n uchun umumlashtirgan.
Еhtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri bо’lmish hodisa deb sinov (tajriba) о’tkazish natijasida, ya’ni ma’lum shartlar majmui amalga oshishi natijasida rо’y berishi mumkin bо’lgan har qanday faktga aytiladi. Tajribaning natijasi bir qiymatli aniqlanmagan hollarda hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi, tajriba еsa tasodifiy tajriba deb ataladi. Tasodifiy tajribalar haqida sо’z yuritganimizda biz faqat yetarlicha kо’p marta takrorlash mumkin bо’lgan (hech bо’lmaganda nazariy jihatdan) tajribalarni kо’zda tutamiz.
Binomial koeffitsiyentlar, kombinatorika masalalarni yechishda keng qo'llaniladigan funksiyalardir. Ular kombinatorika, olasiliklar, statistika, matematik fizika va boshqa sohalarda ishlatiladi. Binomial koeffitsiyentlar, binomialning kuchini ifodalaydi va binomialning istalgan darajasidagi termlarni hisoblashda yordam beradi.
Binomial koeffitsiyentlar, binomialning kuchini ifodalaydigan bir nechta termlarni hisoblash uchun foydalaniladi. Binomial koeffitsiyentlar, n ta elementdan iborat bir qatorning r ta elementdan iborat bo'lgan barcha qatorlarni hisoblashda ishlatiladi. Binomial koeffitsiyentlar, C(n, r) yoki nCr bilan ifodalaydigan.
Nyuton esa 1767-yilda binom formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi. K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko‘rsatkichlari uchun qo‘lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel daraja ko‘rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi. sonlari bilan binomial koeffitsientlar deb ham atashadi. Bunda ta’rif bu koeffitsientlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o‘rniga qarab berilgan bo‘lib, son yoyilmadagi ifodaning koeffitsientidir

Paskal uchburchagi

1
1 1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Paskal uchburchagining n – satridagi sonlar (a+b)n
Yoyilmasining koeffitsient 1 sonlardan boshqa xar bir koeffitsient oldingi satrda turgan 2 ta mos koeffitsientlar yigʼindisiga teng
1654 yilga kelib B. Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon qildi.
Paskal uchburchagidagi qatorlar istalgancha davom ettirilishi mumkin. Shunisi qiziqki, Paskal uchburchagi yordamida istalgan ta elementdan tadan gruppalashlar sonini faqat qo‘shish amali yordamida hosil qilish mumkin
Binomial koeffitsiyentlar, kombinatorika masalalarni yechishda quyidagi xossalarga ega:
Misol uchun, 5 ta elementdan iborat bir qatorning 2 ta elementdan iborat bo'lgan barcha qatorlarini hisoblash uchun C(5, 2) ni hisoblashimiz kerak. Natijada C(5, 2) = 10 bo'ladi.
Kombinatorika, obyektlar va ulardan tuzilgan tizimlar bilan bog'liq masalalarni o'rganuvchi matematik soha hisoblanadi.
Binomial koeffisentlar, matematikada binomial ifodalarni hisoblashda ishlatiladigan koeffisentlardir. Binomial ifoda, ikki elementdan iborat bo'lgan ifodalardir, masalan, (a + b)^n shaklida ifodalarda a va b elementlari mavjud bo'ladi.
Binomial koeffisentlar, binomial ifodalarni koeffisentlari bilan ko'paytirish orqali topiladi. Binomial koeffisentlar, kombinatorika va algebraik hisob-kitoblarda keng qo'llaniladi.
Binomial koeffisentlarni hisoblash formulasi, faktoriallar bilan ifodalangan bo'ladi. Binomial koeffisent C(n, k) shaklida ifodalangan, bu yerda n va k musbat butun sonlar bo'ladi. C(n, k) formulasi quyidagicha hisoblanadi:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Bu formulada, n! faktorialni ifodalaydi (n faktoriali, 1 dan n gacha bo'lgan butun sonlarning ko'paytmasidir), k! faktorialni ifodalaydi (k faktoriali, 1 dan k gacha bo'lgan butun sonlarning ko'paytmasi), va (n-k)! faktorialni ifodalaydi ((n-k) faktoriali, 1 dan (n-k) gacha bo'lgan butun sonlarning ko'paytmasi).

Kombinatorikaga doir masalalar

Talaba 4 ta fan bo‘yicha qo‘shimcha tayyorlanish uchun ularning har biriga haftaning bir kunini ajratmoqchi bo‘ldi. Talaba hafta kunlarini fanlarga necha usulda taqsimlashi mumkin?


Xodimga haftaning ixtiyoriy ikki kunini dam olish uchun tanlash imkoni berildi. Xodim dam olish kunlarini necha usulda tanlashi mumkin?


Futbol chempionatida 16 ta komanda qatnashadi. Komandalarning oltin, kumush, bronza medallar va oxirgi ikkita o‘rinni egallaydigan variantlari nechta bo‘ladi?


5 ta talabani 10 ta joyga necha xil usulda joylashtirib chiqish mumkin? Qidirilayotgan usullar soni 25 ta elementdan 4 tadan joylashtirishlar soniga teng