O’zbekiston respublikasi

1 _{James Stewart Calculus 7E 321-327 betlar} 

Isbot.Agar f(x) funksiyaning [a,b] dagi ixtiyoriy boshqa boshlang’ich funksiyasini F(x) desak, 2-teoremaning isbotidan kelib chiqadi. [F(x) - F(x)]' =0 ⇒ F(x) = F(x) + C 2-ta'rif. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning [a,b] dagi boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda f(x) funksiyaning shu kesmadagi barcha boshlang’ich funksiyalari to’plami F(x)+C ga funksiyaning shu kesmadagi aniqmas integrali deyiladi va odatda ∫f(x)dx simvol bilan belgilanadi. Shunday qilib ta'rifga ko’ra F'(x)=f(x) bo’lsa ∫f(x)dx = F(x) + C bo’ladi. Bu yerda f(x) ga - integral ostidagi funksiya, f(x)dx ga integral ostidagi ifoda deyiladi. Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integralini topish integrallash amali deyiladi. Shunday qilib berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integrali y=F(x)+C funksiyalar to’plamidan iborat bo’lib, geometrik nuqtai nazardan esa aniqmas integral egri chiziqlar to’plamidan (oilasidan) iborat bo’lib , ularning hammasi bir-biridan ixtiyoriy C masofaga farq qilib o’zaro parallel joylashgan bo’ladi. 2. Aniqmas integralning xossalari. 1. (∫f(x)dx)'= f(x) 2. ∫dF(x) = F(x)+ c 3. d[∫f(x)dx] = f(x)dx 4. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx k-o’zgarmas. 5. ∫ [f(x) ± φ(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫(p(x)dx Aniqmas integrallarni hisoblaganda yuqoridagi xossalardan tashqari quyidagi uchta muhim qoidani nazarda tutish amaliy mashg’ulotlar uchun katta ahamiyatga ega. 

Agar ∫f(x)dx = F(x) + C bo’lsa 1. ∫f (ax) dx = ^{1F (ax ) + C} a 2. ∫ f (x+b) dx = F (x+b ) + C 3. ∫ f (ax+ b)dx= 1 _{F (ax + b) + C a}3. Aniqmas integrallar jadvali. 

Bu formulalarning to’g’riligini ularning o’ng tomonidagi ifodalarni bevosita differensiallash bilan ko’rsatish mumkin. 

1. ∫xⁿdx= x ⁿ 

+ 

1 + nC ( ≠ - )1 _n+1dx 

+ 2 ^{= +} 2. ∫ dx _{= 1} 

Cxn _{+ x}11. ∫ -arctgx C _x1 

12. ∫ xa 

2 dx + 

2 ⁼ 1 _{arctg a}x ⁺ c _a3. ∫e^xdx =e^x+C 4. ∫a^xdx = C 13. ∫ xa 

2 dx _- 

2 = 1 _2xna 

Misollar. 1-misol sifatida 14-formulani ko’raylik 

a ^x 

+ _1n xa ⁺ C _xa -⁺ ₁ 5. ∫ sin xdx = - Cxcos + 6. ∫ cos xdx = 

sinx + C 14. ∫ C _ax 7. ∫ _xcosdx₂ = tgx + C 8. ∫ _xsindx₂ = -ctgx + C 9. ∫ tgxdx = cosx|-1n C| + 10. ∫ctgxdx = 1n|sinx|+C 

dx 

ax 2 _- 

2 = 1 _{1n 2a}ax ^{- +} +15. ∫ ^dx 

arcsinx C x12 ^{= +} - 16. ∫ dx 

⁼ 

_arcsin x ⁺ C xa 

2 - 2 _a17. ∫ dx x1n 

ax _{2 2} C ax 

2 2 ⁼ 

^{+ ± +} ± a, c –lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. 

1 ^{⎛ │}│⎝_2a1 

_1n ax - <sub>ax 

+</sub>+ C ⎞ 

│_│⎠axax 

(x a) ₌ ¹ _∙ ax 

- _∙ + - + ⁼ 2aax 

₊+ - 2-misol. ∫(2x³+5 x ) _{dx =} 1 _x 4 ₊ 10 Cxx _{+ 23}3-misol. ∫ ^dx = 1 C63x1n + + 63x_{+ 3}4-misol. ∫cos10xdx= 1 sin10x ₊ C ₁₀4. Bevosita integrallash usuli. 

Aniqmas integralni bevosita integrallar jadvalidan va aniqmas integralning xossalaridan foydalanib integrallashga bevosita integrallash usuli deyiladi.Ba'zi hollarda integral ostidagi funksiyani iloji boricha yig’indiga yoyib so’ngra bevosita integrallash maqsadga muvofiq bo’ladi. 

1-misol. 

x3x 

7sinx 61nx |x| arctgx C 2 _ax 2 2 ⎛ _│4x3 ^- 

3 

⁺ 7cosx dx _⎝⁶ 1 

x_1x dxx4-dx3dx 7cosxdx 6 ^dx x= 4 

^{- -} 2 

+ ⎞ │_⎠= ∫ ∫ 3 

+ - ∫ - ∫ 1x 

2 ₊ = - + - - + 2-misol. ∫(x²- 2x)²dx = ∫ (x⁴ - 4x³ + 4x²)dx = ∫ x⁴dx - 4∫ x³dx + 4∫ x²dx = x 5 

- 

_{x 4} + 4 Cx ₃ + ₅₃5. Differensial belgisi ostiga kiritib integrallash Differensial belgisi ostiga kiritib integrallash usuli esa integral ostidagi ifodani almashtirishdan iboratdir. 1-misol. ∫e^sinx cosxdx = | cosxdx = d(sinx) , desak| = ∫e^sinx • d(sinx) = e^sinx + C 2-misol. ∫sin⁸xcosxdx =|cosxdx = d(sinx) | = ∫sin⁸xd(sinx) = 1 _9sin9_{x + C} 

3-misol. ∫e^{arctgx ∙} 

x1 

+ dx 2 ⁼ dx x1 

+ 2 ^{= d(arctgx) = ∫ e} _arctgx ^{d(arctgx) = e} _arctgx ^{+ C} 4-misol. ∫ _xe 

_x 2 _{dx = xdx =} 1 _{)d(x 2 =} 1 _{∫ )d(xe x} 2 _{2 =} 1 e _x 2 ₊ C ₂₂₂5-misol. ∫ 

^dx _{= ∫} d(x + 5) = C|5x|1n + + 5x_{+ 5x +}6. Aniqmas integralda o’zgaruvchilami alnashtirib integrallash. Integrallar jadvaliga kirmagan ∫f(x)dx integralni hisoblash uchun, ya'ni f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish uchun x = φ(t) (1) almashtirish bajarib, φ(t)funksiyani uzluksiz va uzluksiz φ'(t) hosilaga ega hamda unga teskari bo’lgan t = ψ(x) funksiya mavjud deb faraz qilamiz. 

Bu holda (1) dan dx = φ'(t)dt ekanligini e'tiborga olsak berilgan integral 

∫f(x)dx = ∫f [φ (t)]φ'(t) dt (2) ko’rinishda bo’ladi. (2) ga aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi. Bu yerda φ(t) ni shunday tanlash kerakki natijada (2) ning o’ng tomonidagi integral chap tomonidagi integraldan soddaroq bo’lsin. Aniqmas integralni o’zgaruvchilarni almashtirib integrallaganda chiqqan natijada yangi o’zgaruvchidan dastlabki o’zgaruvchiga qaytish shart. 

1-misol. ∫ ^xdx x1₊ 

2 ₌ x1t 

= + dt = 

2xdx 2 

<sup>= 

1 

∫ dt 

=</sup> 1 

_1nt ⁺ _C ⁼ 1 x11n ⁺ 2 ⁺ C 2dt₂₂

2-misol. 

R _t R sin2t C ₂₄x Rsint J 

R dxx 2 

2 ⁼ =∫ 2 

- 2 = ⁼= 

_R 

2 

∫ _cos 2 _tdt = _R 2 ∫ 1 ⁺ cos2t _dt = R 2 [t + ∫ cos2t dt] = R 

2 -x 2 = Rcost ₂₂= + + _{Eski o’zgaruvchi x ga qaytsak x = R sint ⇒} x _{= sint ⇒ t = arcsin} x _RRarcsin . <sub>2 

2</sub> dx Rcost d R 2 

)(sin(22sin 

t = RtR 2)cos t = xRx 2 - 2 . J 

= 

^R 2 

^x + ^x 

CxR 2 - 2 + R

Ayrim integrallarni qismlarga va o'zgaruvchilarni almashtirish orqali hisoblash qayerda, ta'rifi bo'yicha, F(x) - uchun antiderivativ f(x) Agar o'zgaruvchini almashtirish uchun integrand bo'lsa keyin (16) formulaga binoan yozishimiz mumkin Ushbu iborada uchun antiderivativ funktsiya Aslida, uning hosilasi, shunga ko'ra murakkab funktsiyani farqlash qoidasi  ga teng A va β o'zgaruvchining qiymatlari bo'lsin t  Buning uchun funktsiya mos ravishda qiymatlarni oladi ava b, ya’ni Ammo Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, farq F(b) – F(a) hisoblanadi Talabalar va maktab o'quvchilari uchun materiallarni yozib olish uchun saytga onlayn ravishda integrallar. Har safar, integralni hal qilishni boshlashingiz bilan, siz uning turini aniqlashingiz kerak, bunda siz jadval jadvalidan tashqari biron bir usuldan foydalana olmaysiz. Jadvalning har bir yaxlitligi berilgan misoldan yaqqol ko'rinib turmaydi, ba'zida antiderivativni topish uchun original funktsiyani o'zgartirish kerak bo'ladi. Amalda, integrallarning echimi aslini, ya'ni cheksiz funktsiyalar oilasining antivirus vositasini topish muammosini sharhlash uchun keladi, ammo agar integratsiya chegaralari o'rnatilgan bo'lsa, Nyuton-Leybnits formulasiga binoan hisob-kitoblarni qo'llash kerak bo'lgan yagona yagona funktsiya qoladi. Norasmiy ravishda, onlayn integral - bu funktsiya grafigi va integratsiya ichidagi abtsissa o'qi orasidagi maydon. Bitta o'zgaruvchiga murakkab integralni hisoblab chiqamiz va uning javobini masalaning keyingi yechimi bilan bog'laymiz. Siz aytgandek, buni peshonadagi integratsiyadan topishingiz mumkin. Asosiy tahlil teoremasiga ko'ra, integratsiya - bu differentsial tenglamalarni echishga yordam beradigan differentsiatsiyaga teskari operatsiya. Texnik tafsilotlarda farq qiluvchi integratsiya operatsiyasining bir necha xil ta'riflari mavjud. Biroq, ularning barchasi mos keladi, ya'ni har qanday ikkita integratsiya usuli, agar ular ushbu funktsiyaga qo'llanilishi mumkin bo'lsa, xuddi shu natijani beradi. Eng sodda, Rimann integral - aniq integral yoki noaniq integral. Norasmiy ravishda bitta o'zgaruvchining integralini grafika ostidagi maydon sifatida kiritish mumkin (funktsiya grafigi va absissa o'qi orasidagi rasm). Ushbu sohani topishga urinayotganda, ma'lum miqdordagi vertikal to'rtburchaklardan iborat bo'lgan raqamlarni ko'rib chiqish mumkin, ularning asoslari birgalikda integratsiya oralig'ini tashkil qiladi va interval mos keladigan kichik segmentlarga bo'lganda olinadi. Kalkulyator harakatlar tavsifi bilan integrallarni batafsil va bepul hal qiladi! Funktsiya uchun aniqlanmagan onlayn integral bu berilgan funktsiyaning barcha antivirusivlarining yig'indisidir. Agar funktsiya oraliqda aniqlangan va doimiy bo'lsa, u uchun ibtidoiy funktsiya mavjud (yoki ibtidoiylar oilasi). Bu masalaga ehtiyotkorlik bilan yondashish va bajarilgan ishdan qoniqish his qilish yaxshiroqdir. Ammo integralni hisoblash bu klassikdan farq qiladigan usul, ba'zida bu kutilmagan natijalarga olib keladi va bunga hayron bo'lmaslik kerak. Voqealar haqida ijobiy aks sado beradigan narsa dalda beradi. To'liq batafsil bosqichma-bosqich echim bilan aniqlangan va noma'lum integrallarning ro'yxati. Noma'lum integralni onlayn topish bu yuqori matematikada va fanning boshqa texnik sohalarida juda tez-tez uchraydigan vazifadir. Integratsiyaning asosiy usullari. Xato qilishdan oldin tugallangan binolar haqida o'ylang. Integrallarning yechimi onlayn - siz har xil turdagi integrallar uchun batafsil noma'lumlikni olasiz: noaniq, aniq emas, noto'g'ri. Funktsiyaning yaxlitligi ketma-ketlikning yig'indisiga o'xshashdir. Norasmiy aytganda, ma'lum bir integral - bu funktsiya grafigi qismining maydoni. Ko'pincha bunday integral tananing u bilan taqqoslaganda bir xil zichlikdagi narsadan qanchalik og'irligini aniqlaydi va uning shakli muhim emas, chunki sirt suvni emirmaydi. Integralni qanday topish mumkinligini har bir yosh talaba biladi. Maktab o'quv dasturi asosida matematikaning ushbu bo'limi ham o'rganiladi, ammo batafsil emas, faqat bunday murakkab va muhim mavzuning asoslari. Ko'pgina hollarda, talabalar keng nazariya bilan integrallarni o'rganishni boshlaydilar, bundan oldin muhim mavzular, masalan, lotin va chegaraviy o'tishlar kiradi - ular chegaradir. Integrallarni echish asta-sekin oddiy funktsiyalarning eng oddiy namunalaridan boshlanadi va o'tgan asrda va undan ham oldinroq taklif qilingan ko'plab yondashuvlar va qoidalarni qo'llash bilan tugaydi. Integral hisob-kitoblar faqat litsey va maktablarda, ya'ni o'rta maktablarda qo'llanilishi kerak. Bizning saytimiz, sayt sizga doimo yordam beradi va integrallarni onlayn hal qilish siz uchun odatiy holga aylanadi, eng muhimi tushunarli faoliyat. Ushbu manbaga asoslanib, siz ushbu matematik bo'limda ustunlikka erishishingiz mumkin. O'rganilgan qoidalarni bosqichma-bosqich, masalan, qismlarga ajratish yoki Chebyshev usulidan foydalangan holda, maksimal ball uchun har qanday testni osongina hal qilishingiz mumkin. Xo'sh, qanday qilib barchaga ma'lum bo'lgan integrallar jadvalidan foydalangan holda, ammo to'g'ri, to'g'ri va maksimal aniq javob bilan integralni qanday hisoblaymiz? Buni qanday o'rganish mumkin va eng qisqa vaqt ichida oddiy birinchi kursda o'qish mumkinmi? Biz bu savolga ijobiy javob beramiz - mumkin! Shu bilan birga, siz nafaqat har qanday misolni hal qilishingiz, balki yuqori darajadagi muhandis darajasiga erishishingiz mumkin. Buning siri har qachongidan ham sodda - siz maksimal kuch sarflashingiz, o'zingizni mashq qilishga kerakli vaqtni sarflashingiz kerak. Afsuski, hali hech kim boshqa yo'lni o'ylamagan! Ammo hamma narsa birinchi qarashda ko'rinadigan darajada bulutli emas. Agar siz ushbu savol bilan bizning saytimiz xizmatiga murojaat qilsangiz, biz sizning hayotingizni osonlashtiramiz, chunki bizning saytimiz onlayn-integrallarni batafsil, shu bilan birga juda yuqori tezlik va beg'araz aniq javob bilan hisoblashi mumkin. Integral argumentlarning munosabati butun tizimning barqarorligiga qanday ta'sir qilishini aniqlamaydi. Integralning mexanik ma'nosi ko'plab amaliy muammolarda yotadi, bu tanalar hajmini aniqlash va tana massasini hisoblash. Ushbu hisob-kitoblarda uch va juft integrallar aniq ishtirok etadi. Biz onlayn ravishda integrallarni yechish faqat tajribali ustozlar nazorati ostida va ko'p sonli tekshirishlar orqali amalga oshiriladi, deb ta'kidlaymiz. Bizga ko'pincha ma'ruzalarga kelmaydigan, hech qanday sababsiz o'tkazib yuboradigan talabalarning ishlashi, ular qanday qilib integralni o'zlari topishi haqida savol berishadi. Biz talabalar erkin odamlar, va ular qulay uy sharoitida test yoki imtihonga tayyorlanib, tashqi talaba sifatida o'qitilishi mumkin, deb javob beramiz. Bir necha soniya ichida bizning xizmatimiz har kimga biron bir funktsiyaning integralini o'zgaruvchiga hisoblashda yordam beradi. Antiderivativ funktsiyaning lotinini olish orqali olingan natijani tekshiring. Bunday holda, integral eritmasidan doimiylik yo'qoladi. Bu qoida hamma uchun ravshan. Sizga bir necha soniya ichida va eng muhimi yuqori aniqlikda va qulay usulda bosqichma-bosqich javob beradigan saytlar ko'p emas. Ammo integratsiyani tayyor xizmat yordamida qanday topish mumkinligi haqida unutmang, vaqt sinovidan o'tgan va Internetda minglab hal qilingan misollar bo'yicha sinovdan o'tgan. Integrallarni echish oson ish, ammo faqat elita uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganishni istaganlar uchun, ammo ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral ... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash kerak? Aniq va noaniq integrallar nima? Agar sizga ma'lum bo'lgan yaxlit integralning yagona qo'llanmasi bo'lib, borish qiyin bo'lgan joylardan foydali belgi bilan integral belgi shaklida to'qish kerak bo'lsa, unda xush kelibsiz! Integrallarni qanday hal qilishni bilib oling va nima uchun ularsiz qila olmasligingizni bilib oling. Biz "integral" tushunchasini o'rganamiz Integratsiya qadimgi Misrda ma'lum bo'lgan. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin baribir. O'shandan beri matematiklar ushbu mavzu bo'yicha juda ko'p kitob yozdilar. Ayniqsa ajralib turadi Nyuton   va Leybnits lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi. Integrallarni noldan qanday tushunish kerak? Yo'q! Ushbu mavzuni tushunish uchun siz hali ham matematik tahlil asoslari haqida asosiy bilimlarga ega bo'lishingiz kerak. Integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar bizning blogimizda allaqachon mavjud. Noma'lum integral Keling, ba'zi funktsiyalarni bajaraylik f (x) . Aniqlanmagan funktsiya integral f (x)   bu funktsiya chaqiriladi F (x) uning hosilasi funktsiyaga teng f (x) . Boshqacha qilib aytganda, integral aksincha yoki antiderivativ uchun lotin hisoblanadi. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday o'qish kerakligi haqida. Barcha doimiy funktsiyalar uchun ibtidoiy mavjud. Bundan tashqari, doimiy belgi ko'pincha antiderivativga qo'shiladi, chunki funktsiyalarning hosilalari doimiy bir-biriga mos keladigan farqlanadi. Integralni topish jarayoni integratsiya deb ataladi. Oddiy misol: Elementar funktsiyalarning ibtidolarini doimiy ravishda hisoblamaslik uchun ularni jadvalga qisqartirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay. Talabalar uchun to'liq jadval Aniq integral Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz miqdorlar bilan shug'ullanamiz. Integral shaklning maydonini, bir xil bo'lmagan tananing massasini, notekis harakat bilan bosib o'tgan yo'lni va boshqalarni hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz cheksiz sonlarning yig'indisi. Misol sifatida, funktsiyaning grafigini tasavvur qiling. Funktsiya grafigi bilan bog'langan rasmning maydonini qanday topish mumkin? Integraldan foydalanish! Koordinata o'qlari va funktsiyalar grafigi bilan cheklangan egri chiziqli trapezoidni cheksiz segmentlarga ajratamiz. Shunday qilib, shakl ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisoblash taxminiy natijani beradi. Shu bilan birga, segmentlar qanchalik kichik va tor bo'lsa, hisoblash yanada aniqroq bo'ladi. Agar biz ularni uzunlik nolga tenglashtiradigan darajada kamaytirsak, unda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga to'g'ri keladi. Bu quyidagicha yozilgan ma'lum integral:   A va b nuqtalari integratsiya chegaralari deyiladi.    Bari Alibasov va Integral guruhi Aytgancha! Endi bizning o'quvchilarimizga 10% chegirma mavjud Dummiyalar uchun integrallarni hisoblash qoidalari Noma'lum integralning xususiyatlari Noma'lum integralni qanday hal qilish kerak? Bu erda biz misollar echishda foydali bo'lgan noaniq bo'lmagan integralning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Integralning hosilasi integrandga teng: Doimiylikni integral belgi ostidan chiqarish mumkin: Qo`shilgan summa integrallari yig`indisiga teng. Farq uchun ham to'g'ri: Aniq integralning xususiyatlari Linearlik: Agar integratsiya chegaralarini almashtirsak, integral o'zgarishlarning belgisi: At har qanday  ball a, b  va bilan: Biz allaqachon aniqlangan integral bu yig'indining chegarasi ekanligini aniqladik. Ammo misolni hal qilishda o'ziga xos qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud: Integrallarni yechishga misollar Quyida noaniq integrallarni topishning bir nechta misollarini ko'rib chiqamiz. Yechimning nozik tomonlarini mustaqil ravishda tushunishingizni maslahat beramiz va agar biron bir narsa aniq bo'lmasa, izohlarda savol bering. Materialni birlashtirish uchun, integrallar amalda qanday echilishi haqida videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, tushkunlikka tushmang. Talabalar uchun professional xizmat bilan bog'laning, va yopiq sirt ustida joylashgan har qanday uch yoki egri chiziqli integral sizning kuchingizga aylanadi. Noma'lum integralni topish (antiderivativlar yoki antiderivativlar to'plami) funktsiyani ushbu funktsiyaning ma'lum lotinidan tiklashni anglatadi. Antidivativ vositalar tiklandi F(x) + Bilan   funktsiyasi uchun f(x) integratsiya doimiyligini hisobga oladi C. Moddiy nuqta (lotin) harakatining tezligi bilan ushbu nuqtaning harakat qonuni (antivirus) tiklanishi mumkin; nuqta harakatini tezlashtirish uchun - uning tezligi va harakat qonuni. Ko'rinib turibdiki, integratsiya Sherlok Xolmsning fizika sohasidagi faoliyati uchun keng maydondir. Iqtisodiyotda ko'plab tushunchalar funktsiyalar va ularning hosilalari orqali ifodalanadi va shuning uchun, masalan, ma'lum bir vaqtda (hosila) mehnat unumdorligi bo'yicha tegishli vaqtda chiqarilgan mahsulot hajmini tiklash mumkin. Noma'lum integralni topish uchun juda oz miqdordagi asosiy integratsiya formulalari talab qilinadi. Ammo uni topish jarayoni bu formulalarni shunchaki ishlatishdan ko'ra ancha qiyin. Barcha murakkablik integratsiyaga taalluqli emas, lekin yuqorida keltirilgan asosiy formulalar yordamida noaniq bo'lmagan integralni topishga imkon beradigan shaklga integratsiyalashadigan iborani kamaytirish uchun. Bu shuni anglatadiki, integratsiya amaliyotini boshlash uchun siz o'rta maktabda olingan ifodalarni o'zgartirish qobiliyatlarini faollashtirishingiz kerak. Biz foydalanadigan integrallarni topishni o'rganamiz xususiyatlari va noma'lum integrallar jadvali  ushbu mavzuning asosiy tushunchalari haqidagi darsdan (yangi oynada ochiladi). Integralni topish uchun bir necha usul mavjud, ulardan o'zgaruvchini almashtirish usuli  va yaxlit integratsiya usuli - Oliy matematikani muvaffaqiyatli topshirgan har bir kishining majburiy muloyim to'plami. Biroq, integratsiyani o'rganishni boshlash noaniq bo'lmagan integralning xususiyatlariga oid quyidagi ikkita teoremaga asoslangan dekompozitsiya usulidan foydaliroq va yoqimli, biz bu erda qulaylik uchun takrorlaymiz. 3-teoremaIntegrandagi doimiy omil noma'lum integralning belgisidan olinishi mumkin, ya'ni. 4-teoremaCheklangan funktsiyalarning algebraik yig'indisining noma'lum integrallari ushbu funktsiyalarning noma'lum integrallarining algebraik yig'indisiga teng, ya'ni. (2) Bundan tashqari, integratsiyalashda quyidagi qoida foydali bo'lishi mumkin: agar integrandagi ifoda doimiy omilni o'z ichiga olsa, u holda antiderivativ ifoda doimiy omilning teskari tomoniga ko'paytiriladi, ya'ni. (3) Ushbu dars integratsiya muammolarini hal qilishning kirish qismi bo'lganligi sababli, sizni ajablantirishi mumkin bo'lgan ikkita narsani ta'kidlash kerak: dastlabki bosqichda yoki biroz keyinroq. Ajablanarlisi shundaki, integratsiya teskari differentsiatsiya va noaniq integralni haqli ravishda “derivativ” deb atash mumkin. Birlashganda hayron bo'lmaslik kerak bo'lgan birinchi narsa.  Integrallar jadvalida lotin jadvalining formulalari orasida o'xshash bo'lmagan formulalar mavjud . Bular quyidagi formulalar: Shu bilan birga, ushbu formulalarning o'ng tomonidagi iboralarning hosilalari mos keladigan integrallar bilan mos kelishini tekshirish mumkin. Integratsiyalashganda ajablanmaslik kerak bo'lgan ikkinchi narsa. Har qanday elementar funktsiyaning hosilasi ham elementar funktsiya bo'lsa ham, ba'zi elementar funktsiyalarning noma'lum integrallari endi elementar funktsiyalar emas . Bunday integrallarga misollar quyidagilar bo'lishi mumkin. Integratsiya texnikasini ishlab chiqish uchun quyidagi ko'nikmalar foydali bo'ladi: kasrlarni qisqartirish, fraktsiya sonidagi ko'payuvchini monomialga bo'linish (noma'lum integrallarning yig'indisini olish uchun), ildizlarni darajaga aylantirish, monomiyani ko'paytirilgan ko'paytirish, kuchga ko'tarish. Ushbu ko'nikmalar integralni o'zgartirish uchun zarur bo'lib, natijada integrallar jadvalida mavjud bo'lgan integrallarning yig'indisi olinishi kerak.
При копировании материала, ссылка на источник обязательна: https://apriori-nauka.ru/uz/diskurs/reshenie-prostyh-integralov-naiti-neopredel-nnyi-integral-nachala.html

Elеmеntаr funksiyalаr vа ulаrning хоssаlаri

Rеjа:

1. Elеmеntаr funksiyalаr.

2. Funksiyalаrning хоssаlаri.
1. Elеmеntаr funksiyalаr.

Mа’lumki mаktаb mаtеmаtikа kursidа аsоsiy elеmеntаr funksiyalаr vа ulаrning bа’zi bir хоssаlаri o’rgаnilаdi.

Mаtеmаtikаning ko’p mаsаlаlаridа qo’llаnilаdigаn quyidаgi funksiyalаr аsоsiy elеmеntаr funksiyalаr dеyilаdi:

1. y=c – o’zgаrmаs funksiya

2. y= - dаrаjаli funksiya

3. y=a^x ko’rsаtgichli funksiya, a>0, a1

4. y=log_ax – lоgаrifmik funksiya? a>0, a1

5. y =sinx, y=cosx, y=tgx - trigоnоmеtrik funksiyalаr

6. y=arcsinx, y=arccosx, y=arctx,y=arcctgx - tеskаri trigоnоmеtrik funksiyalаr

Аsоsiy elеmеntаr funksiyalаrning аniqlаnish sohalаri vа grаfiklаrini qаrаymiz.

1. O’zgаrmаs funksiya – аrgumеntning bаrchа qiymаtlаri uchun bittа qiymаtgа egа, ya’ni u оrаliqdа аniqlаngаn. y=c ning grаfigi аbtsissа o’qigа pаrаllеl bo’lgаn to’g’ri chiziqdаn ibоrаt.

2. Dаrаjаli funksiya grаfigining ko’rinishi ko’rsаtkichning qiymаtigа bоg’liq. Аgаr bo’lsа, qаtоr funksiyalаr y=x, y=x², y=x³, y=x⁴ vа hоkаzоlаr хоsil bo’lаdi. Ulаrning hаr birining аniqlаnish sohalаri hаqiqiy sоnlаr to’plаmi R dаn ibоrаt. -tоq nаturаl sоn bo’lgаndа bа’zi dаrаjаli funksiyalаrning grаfiklаri 2-chizmаdа, -juft nаturаl sоn bo’lgаndа 3-chizmаdа tаsvirlаngаn.

y

y=x

9

8

7 y=x²

6

5

4

3

2

1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

2-rasm

y y
9 y=x³

8

7

6 y=x

5 x

4 5-rasm
3

2

1

-4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 5 6 7 x y

2

3

4

5 3-rasm x

6
7 4-rasm

8

9

y

y

y=2^x
x

0 x

6-rasm 7-rasm
y
y=sinx y=cosx
x 2 8-rasm
Qоlgаn dаrаjаli funksiyalаrdаn bu yеrdа ikkitаsini qаrаymiz

vа

Bulаrdаn, birinchisi x=0 dаn bоshqа bаrchа hаqiqiy sоnlаr to’plаmidа аniqlаngаn, uning grаfigi 4-chizmаdа tаsvirlаngаn. Ikkinchisi esа nоmаnfiy hаqiqiy sоnlаr to’plаmidа аniqlаngаn. Uning grаfigi 5-chizmаdаgi kаbi bo’lаdi.

3. Ko’rsаtgichli y=a^x funksiya R to’plаmdа аniqlаngаn. 6-chizmаdа uning grаfigi a>1 vа 0<a<1 lаr uchun kеltirilgаn.

4. Lоgаrifmik y=log_ax funksiyaning аniqlаnish sohasi оchiq turdаn ibоrаt. Uning grаfigi a>1 vа 0<a<1хоllаr uchun 7-chizmаdа tаsvirlаngаn.

5. y=sinx,y=cosx trigоnоmеtrik funksiyalаr R to’plаmdа аniqlаngаn. Ulаrning grаfigi 8-chizmаdа tаsvirlаngаn.

Y=tgx funksiya R to’plаmning , ko’rinishdаgi nuqtаlаridаn bоshqа nuqtаlаridа аniqlаngаn, y=ctgx funksiya esа R to’plаmning ko’rinishdаgi nuqtаlаrdаn bоshqа nuqtаlаridа аniqlаngаn.

Murаkkаb funksiya tushunchаsidаn fоydаlаnib (1-mа’ruzа) elеmеntаr funksiya tа’rifini bеrаmiz.