O’zbekiston respublikasi
Download 479.02 Kb.
|
matematikattttttttt
|
8-misol. y ). (x y Ifodani soddalashtiring: x Yechish:  
d y ) (x y y ) = x (x y e Morgan qonuniga asosan: x
o y y x y ) = x (x y ‘rinlashtirish qonuniga asosan: x
o y y y = 0 y x ‘z aksi bilan amallar qonuniga asosan: x
o y = 0 y = 0 y ‘zgarmas bilan amallar qonuniga asosan: 0
9-misol. t). z z y x z (x y Ifodani soddalashtiring: x Yechish: De Morgan, ikkilamchi inkor va yutilish qonunlarini qo‘llaymiz: t) = z z y x z (x y t) = x z z y x z (x y x y . t = x z y x z y x y = x 10-misol. Uchta do’st futbol bo’yicha 2010-yilgi jahon chempionati natijalari haqida bahslashishardi. “Mana ko’rasiz, Ispaniya chempion bo’lmaydi, Germaniya chempion bo’lishi aniq” – dedi Abror. “Yo’g’e, Ispaniya chempion bo’ladi, Argentina haqida gapirmasa ham bo’ladi, u chempion bo’lolmaydi” – dedi Behzod. “Germaniya chempionlikka yaqin ham kelmaydi, lekin Argentinada zo’r o’yinchilar bor” – dedi Muzaffar. Chempionat tugagandan keyin esa qarashsa, uch do’stdan ikkitasini ikkala gapi ham to’g’ri, uchinchisini ikkala gapi ham noto’g’ri ekan. Kim chempiom bo’lgan? Yechim. Ba’zi belgilashlarni kiritib olamiz: A – Argentina chempion, G – Germaniya chempion, I – Ispaniya chempion. Muzaffarning “Argentinada zo’r o’yinchilar bor” gapi kim chempion bo’lishi haqida xech qanday ma’lumot bermaydi, shuning uchun keyingi mulohaza yuritishimizga qaralmaydi. Har bir do’stni gapini belgilab olamiz: Abror: (EMAS I ) VA G; Behzod: I VA (EMAS A); Muzaffar: EMAS G. Do’stlarning ikkitasini ikkala gapi ham to’g’ri, uchinchisini ikkala gapi ham noto’g’ri ekanligini hisobga olib quyidagi D mulohazani hosil qilamiz:
D=((EMAS I ) VA G) VA (I VA (EMAS A)) VA (EMAS(EMAS G)) YOKI ((EMAS I ) VA G) VA (EMAS (I VA (EMAS A))) VA (EMAS G) YOKI (EMAS ((EMAS I ) VA G)) VA (I VA (EMAS A)) VA (EMAS G)=ROST. D mulohaza uchun rostlik jadvalini tuzib chiqib kim chempion bo’lganini bilib olish mumkin. Albatta, mantiq qonunlarini qo’llab D mantiqiy ifodani soddalashtirish osonroqdir. 26654_15-ВАРИАНТ.docx 2020-04-27 18:20:19
2-topshiriq.Tekislikda to’g’ri chiziq .Tekislikda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini o'rganish. 1. To’g’ri chiziqning burchak koeffisiyentli
M
A BC x x 3b O O 1-chizma 2-chizma tenglamasini )3;0(A 2-misol. nuqtada uning OX yozing. o’qi kesib bilan o’tuvchi 125burchak 0 to’g’ri hosil chiziqni qiluvchi yasang va OY o’qini va Yechish. Shartga ko’ra, to’g’ri chiziq OY o’qini )3;0(A nuqtada kesib o’tadi, demak b = 3 . Bu nuqtadan OX o’qiga parallel chiziq o’tkazamiz , tomon, yasalishi hamda shu kerak to’g’ri bo’lgan chiziq to’g’ri bilan chiziq 120 bo’ladi(1-chizma) burchak 0 hosil qiluvchi . Endi shu to’g’ri chiziq tenglamasini yozamiz. Bu holda tgk = 120 0 = −= ,3 b = 3 bo’lganligi uchun, y −= 33 x + to’g’ri chiziqning burchak koeffisiyentli tenglamasi bo’ladi. 2) Berilgan bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi.Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. a) Berilgan уxA ( 11, )bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. xxkyy −=− 1 ( 1 )(2) y y
o x o
x −3 chizma 4 − chizma ( b) Berilgan ,xxA ( to’g’ri chiziq 11tenglamasi. );yxB 22) ikkita nuqtalardan o’tuvchi
mahsulotdan 2 −1 1 = xx − xx 2 −1 1 ming chiqarishga so’m xarajat qilinsin.500 donasi (3) 100 donasini ishlab 300 uchun esa xarajat 1300 ming so’m bo’lsin. Xarajat funksiyasi chiziqli (to’g’ri chiziq) bo’lsa, shu mahsulotdan 400 dona ishlab chiqarish xarajatini toping. Masala sharti bo’yicha )300,100(A va B = )1300,500( nuqtalar berilgan. 500 100 , yoki tenglik o’rinli bo’ladi. Oxirgi tenglamadan x = 400 uchun, y = 1050 ekanligini topamiz. Demak , 1300
y − −300 300 = x − 100 −y = 505,2 x + so’m xarajat mahsulotdan qilinadi. 400 dona ishlab chiqarish uchun 1050 ming 3) To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari
o’tadi(5а-чизма); ,0)2 =A B ≠ 0 C ≠ 0 bo’lsa, to’g’ri chiziq OXo’qiga parallel bo’ladi(5в-чизма); 3) B = 0 , A ≠ 0 , C ≠ 0 bo’lsa, to’g’ri chiziq OY o’qiga paralllel bo’ladi (5с-чизма); 4) A = 0 , C = 0 , B ≠ 0 bo’lsa, y = 0 bo’lib, OX o’qining tenglamasi bo’ladi; 5) B = 0 , C = 0 , A ≠ 0 bo’lsa, 6) A = 0 , B = 0 , C ≠ 0 x = 0 bo’lib, OY o’qining tenglamasi bo’ladi;bo’lsa, C = 0 bo’lib, bunday bo’lishi mumkin emas. x yyy
o o x o x 5 a − chizma 5 b − chizma 5 c − chizma 062 3-misol. yx =+− Yechish: 2 xy += ,6 to’g’ri chiziq y +⋅= 32/1 x uchun k va b parametrlarni toping. bundan (2) tenglama bilan taqqoslab, k = ,2/1 b = , 3 ekanligini topamiz. 4) To’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi. ax 1=+ by (5)
Yechish. 01553 yx =−+ to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini (5) ko’rinishdagi tenglamaga keltiramiz. 1 35 1 155 153 ,1553 =+ =+ =+ yx yoki yx yx bu to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi bo’ladi. Endi koordinat o’qlaridan mos ravishda 5 va 3 kesmalarni ajratib, ajratilgan kesmalar oxiridan yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. 5). To’g’ri chiziqning normal tenglamasi. 0 sin cos =− + p y x α α (8) 2 21 BA M + ± = normallovchi ko’paytuvchini deyiladi. 3 = p OX 0 305-misol. Normalning uzunligi va uning o’qi bilan hosil qilgan burchagi bo’lsa, to’g’ri chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing. Yechish. Shartga ko’ra normal OX o’qi bilan 0 30li burchak tashkil etadi. Bu burchakni yasaymiz va uning qo’zg’aluvchi tomoni normal to’g’ri chiziq bo’ladi. Shu to’g’ri chiziqda 3 = p kesma ajratib uning oxiridan unga perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziq bo’ladi . Endi to’g’ri chiziqning tenglamasini yozamiz. Shartga ko’ra normalning uzunligi va uning OXo’qi bilan hosil qilgan burchagi berilgan, bu holda ma’lumki, to’g’ri 5chiziqning M = 1 34 2 + x30cos 2 (8) = 1 ° normal tenglamasini + y 0330sin ° =− yozamiz. p = 3 α = 30 0 bo’lganligi uchun ёки 032/12/3 =−⋅+⋅ x y Natijada 3 yx =−+ 06 tenglama hosil bo’ladi. 6-misol. 0534 yx =−− to’g’ri chiziq tenglamasini normal tenglamaga keltiring. Yechish. M = 1 34
2 + 2 = 1 5M 5/1= 015/35/4 =−⋅−⋅ x y ( 54()2 ==+=−+ 3 5)2 16 259 2525
TEKISLIKDAGI TO’G’RI CHIZIQ TENGLAMALARI. TO’G’RI CHIZIQNING NORMAL TENGLAMASI. NUQTADAN CHIZIQQACHA BO’LGAN MASOFA 1 0. Tekislikdagi A(x1; у1) va B(x 2 ; у 2 ) nuqtalar orasidagi masofa:
2 0. Tekislikda yo’naltirilgan kesmaning, yoki boshi A(x1;у1) va oxiri B(x 2 ;у 2 ) bo’lgan AB vektorning koordinata o’qlaridagi proyektsiyalari: Prx AB =X=x 2 -x1, Prу AB =У=у 2 -у1 (2) 3 0. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish: A(x1;у1) va B(x 2 ;у 2 ) nuqtalar berilgan AB kesmani AN:NB=λ nisbatda bo’luvchi N(x;у) nuqtaning koordinatalari ushbu: x= xx 1 1 ++λ2 λ, у= у 1 +λу 1 1 +λ(3) formulalar bilan aniqlanadi. Xususiy holda kesmani teng ikkiga, ya’ni λ = 11:1 = nisbatda bo’lganda x= xx 1 + 2 2 , у= у 1 + у 2 2 (4)
4 0. Uchlari A(x1; у1), B(x 2 ; у 2 ), C(x 3 ; у 3), ..., F(x n ; у n ) nuqtalarda bo’lgan ko’pburchak yuzi: S= ± 1 2⌈ │⌊x 1 x 2 у 1 у 2 + x 2 x 3
ga teng. 5 0. To’g’ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi: у=kx+b (6) k parametr to’g’ri chiziqning Ox o’qining musbat yo`nalishiga og’ish burchagi α ning tangensiga teng bo`lib (k=tgα ), to’g’ri chiziqning burchak koeffitsenti, ba’zan qiyaligi deyiladi. b parametr boshlang’ich ordinata yoki
6 0. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi: Ax+By+C=0 (A 2 +B 2 ≠ 0) (7) Xususiy hollar: a) C=0 bo’lsa, y= - BA x to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi; b) B=0 bo’lsa, x= - C A=a to’g’ri chiziq 0y o’qqa parallel bo’ladi; c) A=0 bo’lsa, y= - C B=b to’g’ri chiziq 0x o’qqa parallel bo’ladi; d) B=C=0 bo’lsa, Ax=0 yoki x=0 - to’g’ri chiziq 0y o’qdan iborat; e) A=C=0 bo’lsa, By=0 yoki у=0 - to’g’ri chiziq 0x o’qdan o’tadi. 7 0. To’g’ri chiziqning o’qlardan ajratgan kesmalari bo’yicha tenlamasi: ax + by =1 (8) Bu yerda a va b - to’g’ri chiziqning o’qlardan kesgan kesmalarining kattaliklari. у M b M 0 s n α
0 a x 8 0. To’g’ri chiziqning vektor parametrli tenglamasi: MM0 =ts (9) Bu yerda M(x;y) to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi MM0 (x-x 0; y-y 0) vektor va s(m;n) yo’naltiruvchi vektori o’zaro kollinear, t-ixtiyoriy haqiqiy son yoki parametr. 9 0. (9) tenglamani koordinatalarda
= tmxx - 0 = tnyy 0(10)
ifodalab, to’g’ri chiziqning parametrli tenglamasini hosil qilish mumkin. 10 0. (10) tenglamalarda t parametr yo’qotilsa, to’g’ri chiziqning kanonik teglamasi hosil bo’ladi:
11 0. Agar a =P (P ≥ 0 ), ν = Pa =(Cosα , Cosβ ) a normal radius vektorninig birlik vektori bo’lib, to’g’ri chiziqning ixtiyoriy M(x;y) nuqtasining mos radius vektori r (x;y) bo’lsa, u holda r radius vektorning a yoki ν vektordagi sonli proyektsiyasi P ga teng: P rrν =P, yoki ν P rrν =P, yoki (r.v)=P (P≥0) (12) Bu tenglama to’g’ri chiziqning vektor ko’rinishdagi tenglamasi deyiladi. (12) tenglama koordinatalarda xCosα +yCosβ =P yoki xCosα +ySinα =P (P≥0) (13) ko’rinishni oladi. Bunda α - a yoki ν vektorning Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak kattaligi. (13) shakldagi tenglama to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi. 12 0. (7) shakldagi tenlamadan (13) shakldagi tenglamaga o’tish uchun umumiy ko’rinishdagi tenglama normallovchi ko’paytuvchi deb ataladigan μ = ± 1
munosabat bajarilmaydi. Masala: 3x+4y-8=0 tenglamani normal ko’rinishga keltiring . Berilgan umumiy shakldagi tenglama uchun normallovchi ko’paytuvchi μ = ± 143 2 + 2 = 1 5. Tenglamani, μ = 1 5ga ko’paytiramiz, natijada to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagi ko’rinishda normal holga keltiriladi: 3 5x + 54 у = 8 5. 13 0. y=k1x+b1 to’g’ri chiziqdan y=k2x+b2 to’g’ri chiziqqacha soat strelkasiga qarshi yo’nalishda hisoblanuvchi φ burchak tg φ = 1 kk2 - 1 + kk 21
(14) formula bilan aniqlanadi. 14 0. A1x+B1y+C1=0 va A 2 x+B 2 y+C 2 =0 tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziqlar uchun (14) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: tg φ = BBAA BABA 21 21 +- 12 21 (15) yoki Cos φ = ( nn 21 ∙ nn 1 ∙)= 2 BBAA 21 + 21 BABA 1 2+ 1 2• + 22 (16) 15 0. To’g’ri chiziqlarning parallellik sharti: k1=k 2 yoki A 1 A2= B 1 B2(17) 16 0. To’g’ri chiziqlarning perpendikulyarlik sharti: k1 •k 2 =-1 yoki A1A 2 +B1B 2 =0 (18) 17 0. Berilgan A(x1;у1) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi: у-y1=k(x-x1) (19) 18 0. Berilgan ikki A(x1;у1) va B(x 2 ;у 2 ) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi: 2 1 22 у - у у -у = xx - -(20) 19 0. Parallel bo’lmagan ikki A1x+B1у+С1=0 va A2x+B2у+С2=0 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechish bilan
2
2 1 1
2 1 xx -
1
22 B BA 1 1 , у= CA 2 BA 1 -2 1 (21) BA BA 2 2 ni hosil qilamiz. 20 0. (x 0 ; у 0) nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan d masofani topish uchun to’g’ri chiziq normal tenglamasining chap tomonidagi o’zgaruvchi koordinatalar o’rniga (x 0;у 0) koordinatalarni qo’yib, hosil bo’lgan sonning absolyut qiymatini olamiz, ya’ni d= x 0 cos β + у 0 sin β - P (22) yoki d= Ax 0 + CBу 0 + BA 2 +
2 (23) 21 0. Ax+Bу+C=0 va BxA 1 + 1 у + C 1 = 0 to’g’ri chiziqlar orasidagi burchaklar bissektrissalarining tenglamalari: 21 Ax + CBу + = ± BxA + у + C BA
+
(24) 22 0. Berilgan ikki to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi: α ( Ax + CBу + () + β BxA 1 + 1 у + C 1 0) = (25) α 1= deb olish mumkin, u holda biz (25) dastadan berilgan to’g’ri chiziqlardan ikkinchisini yo’qotgan bo’lamiz, ya’ni u vaqtda (25) dan ikkinchi to’g’ri chiziqning tenglamasini hosil qila olmaymiz. Текисликда тугри чизик. Тугри чизикнинг нормал тенгламаси РЕЖА 1. Тугри чизикнинг бурчак коэффициентли тенгламаси. 2. Берилган нуктадан утувчи тугри чизик тенгламаси. 3. Икки тугри чизик орасидаги бурчак. 4. Нуктадан тугри чизиккача булган масофа. 5. Тугри чизикнинг нормал тенгламаси. Текисликда тугри чизик 1. Тугри чизикнинг нормал тенгламаси. Берилган нуктадан утувчи, берилган векторга перпендикуляр тугри чизик тенгламаси. Оху текисликда l тугри чизикни олайлик. Айтайлик, М1(х1, у1) l булсин ва N = Ai + Bj вектор берилган булиб, бу ерда N1 шарт бажарилсин. N - ни нормал вектор деб аталади. М1 нукта ва N вектор тугри чизикни жойлашишини аниклайди. М(х, у) l ихтиёрий нукта булсин. У холда М1 М = ( х-х1) i + (y - y1) j N Икки векторнинг перпендикулярлик шартига асосан М1М * N = 0; А(х-х1) + В(y-y1) = 0 (1) (1) — берилган нуктадан утувчи, берилган векторга перпендикуляр тугри чизик тенгламасидир. Мисол: М(- 1; 3) нуктадан утиб N= 2 i - 5 j векторга перпендикуляр тугри чизик тенгламасини тузинг. А=2; В= - 5 2(х+1) + (-5) (у-3) = 0 2х -5у + 2 + 15 = 0 2х - 5у + 17 =0
А(х - 0) + В(у + С/В) = 0 бу эса (0; — С/В) нуктадан утиб N (A; B) га перпендикуляр булган тугри чизик тенгламасидир. 3. Йуналтирувчи вектор. Тугри чизикнинг каноник тенгламаси Оху текисликда l тугри чизикни карайлик. Тугри чизикни унда ётувчи ихтиёрий М1(х1, у1) нукта ва унга параллел булган S = mi + nj вектор вектор тулик аниклайди. S векторни l тугри чизикни йуналтирувчи ввектори деб аталади. Айтайлик М(х, у) нукта l тугри чизикнинг ихтиёрий нуктаси булсин. У холда М1М l тугри чизикка тегишли булиб, шарт буйича у S векторга параллел булади. Векторларнинг паралеллик шартига асосан: х-х1 у-у1 ----- = ----- (3) m n
Агар тугри чизик Оу укка параллел булса, у холда унинг тенгламаси: х-х1 у-у1 ----- = ----- (3’) о n
----- = ----- (3”) m о булади.
4. Берилган нуктадан утувчи тайин йуналишдаги тугри чизик тенгламаси. Тугри чизик тенгламалар туплами. 
у 0
Оху текисликда l тугри чизик берилган булсин. l ох ук билан М нуктада кесишсин. l тугри чизик билан ох ук орасидаги бурчакни билан белгилайлик. х l м 
Агар, = 0 булса, у холда l ох ук билан устма-уст тушади. Ох ва оу укига параллел булган l тугри чизикни карайлик. l тугри чизикда ётувчи ихтиёрий М1 (х1, х2) нуктани оламиз. Тугри йуналтирувчи вектор сифатида бирлик вектор S0 = cosi + cosj ни олайлик. cos = cos(900 — ) = sin S0 = cosi + sinj демак, m = cos; n = sin y l S0 0 x у холда х - х1 у - у1 ------ = ------ (4) cos sin у номаълумга нисбатан ечамиз: у - у1 = tg (х - х1) tg = k; у - у1 = k (х - х1) (5) берилган нуктадан утувчи берилган йуналишдаги тугри чизик тенгламасидир. Агар тугри чизик Оу укига параллел булса, у холда тугри чизик тенгламасини (5) формула шаклида ёзиб булмайди. х = х1 — (х1; 0) нуктадан утувчи тугри чизик тенгламасидир. 6. Бурчак коэффициентли тугри чизик тенгламаси. Айтайлик тугри чизик Оу укини В(О; в) нуктада кесиб утиб, Ох уки билан бурчак хосил килсин у - в = к ( х - 0) ёки у = кх + в (6)
------- = ------- (7) х2 - х1 у2 - у1 (7) — икки нуктадан утувчи тугри чизикнинг тенгламасидир. 8. Икки тугри чизик орасидаги бурчак. Айтайлик, l1 ва l2 тугри чизиклар М нуктасида кесишсин. Тугри чизиклар куйидаги тенглама билан берилган булсин. l1; у = к1 х + в; l2; у = к2 х + в2 Тугри чизиклар орасидаги бурчак = 2 - 1 tg2 - tg1 tg = tg (2 - 1) = ------------- 1 + tg1 tg2
tg = ---------- (8) 1 + k1k2
!Ax0 + By0 +C! d= -------------------- (9) A2 + B2 (9) — М (х0; у0) нуктадан Ах + Ву + С = 0 тугри чизиккача булган масофани хисоблаш формуласидир.
4.8.BOSHLANG’ICH FUNKSIYA VA ANIQMAS INTEGRAL. ANIQMAS INTЕGRALNING TA'RIFI VA ASOSIY XOSSALARI. ASOSIY ELEMENTAR FUNKSIYALARNING INTEGRALLASH JADVALI. O`ZGARUVCHINI ALMASHTIRIB INTЕGRALLASH. Reja. 1. Boshlang’ich funksiya. 2. Aniqmas integralning xossalari. 3. Aniqmas integrallar jadvali. 4. Bevosita integrallash usuli. 5.Differensial belgisi ostiga kiritib integrallash 6. Aniqmas integralda o’zgaruvchilami alnashtirib integrallash. 7. Bo’laklab integrallash. Tayanch so’zIar. Funksiya, hosila, differensial, boshlang’ich funksiya, uzluksizlik, chegaralangan, o’zgaruvchilarni almashtirish, bo’laklab integrallash. 1. Boshlang’ich funksiya Bizga biror funksiya berilgan bo’lsa, rna'lum formulaga yoki qoidaga ko’ra bu funksiyaning hosilasini topishni bilamiz. Masalan F(x) = x3 bo’lsa, F'(x) = 3x2; F(x) = sinx bo’lsa, F'(x) = cosx. Endi bu masalaning teskarisini ya'ni hosilasiga ko’ra funksiyaning o’zini topish masalasini ko’raylik. Boshqacha aytganda differensiallash amaliga teskari bo’lgan masalani yechishga to’g’ri keladi.
44 )( 3 ,7 44 )( 2 , 44 (C-o’zgarmas) funksiyalar f(x)=x3 funksiyaning boshlang’ich funksiyasidir. 2-teorema. Agar F1(x) va F2(x) funksiyalar [a,b] kesmada f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiyalar bo’lsa, u holda F1(x), F2(x) lar bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi: F1(x)-F1(x)=C, C- ixtiyoriy o’zgarmas. Isboti. φ(x)= F1(x)- F2(x) deylik. Teoremaning shartiga ko’ra, F11(x) = f(x),F'2(x) = f(x) bo’lgani uchun differensiallash qoidasiga ko’ra φ'(x) = [F1(x) - F2(x)]'= F1 (x) - F3 (x) = f(x) - f(x) = 0⇒ φ'(x) = 0⇒ F1(k) - F2(x)]'= 0⇒ F1(x) - F2(x) = C. 3-teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning [a,b] dagi boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda f(x) funksiyaning shu kesmadagi har qanday boshqa boshlang’ich funksiyasi F(x)+C ko’rinishda bo’ladi. Download 479.02 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|
