O‟zbekiston respublikasi xalq ta‟lim vazirligi toshkent shahar xalq ta‟limi xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish instituti

> combine(4*sin(x)^3, trig); 





(

)

sin 3 x

3

( )

sin x

 

 

Faqat kvadrat ildiz, balki boshqa ildizlarga ega bo‟lgan ifodalarni 

sodalashtirish uchun  radnormal(ifoda) buyrug‟i ishlatiladi.  

Masalan: 1) 

sqrt(5+sqrt(8)+(5+6*sqrt(3))^(1/2))=radnormal(sqrt(5+sqrt(8)+(5+6*sqrt(3))^

(1/2))); 

 

 

 

 

convert(y,  param)  ;buyrug‟i  yordamida  ifoda  ko‟rsatilgan  turga 

almashtiriladi, bu yerda y – ifoda,   param- ko‟rsatilgan tur. 

 

 

Umuman  olganda,  convert    buyrug‟idan  juda  keng  miqyosda  foydalanish 

mumkin. U bir turdagi ifodani boshqa turga o‟tkazadi.  

 

Agar  barcha  buyruqlarning  imkoniyatlari  to‟g‟risida  to‟liq  ma‟lumotga  ega 

bo‟lmoqchi  bo‟lsangiz,  ma‟lumotlar  tizimiga  murojoat  qilish  kerak  bo‟ladi:  >? 

buyruq;. Masalan: ?convert; 

Misollar. 

Ko‟phadni ko‟paytuvchilarga ajratish uchun Maple dasturida  factor buyrug‟i  

kiritiladi. 

1) 

 := 

p



 

x

3

4 x

2

2 x

4

 ko‟phadni ko‟paytuvchilarga ajrating:  

> factor(x^3+4*x^2+2*x-4); 

(

)



x

2 (

)

 

x

2

2 x

2

. 

24 

 

2) > p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x; 

x

x

x

x

x

p

6

7

:

2

3

4

5











 

> factor(p); 

                                                     

)

1

)(

2

)(

3

)(

1

(









x

x

x

x

x

 

Ifodani soddalashtiring  uchun Maple dasturida convert buyrug‟i tanlanadi:  

Masalan: 





1

(

)

sin 2 x

(

)

cos 2 x





1

(

)

sin 2 x

(

)

cos 2 x

. 

 Buyruqlar satrida teramiz:  

> y:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)): 

> convert(y, tan): 

> y=normal(%); 







1

(

)

sin 2 x

(

)

cos 2 x





1

(

)

sin 2 x

(

)

cos 2 x

1

( )

tan x

. 

 Ifodani soddalashtiring: 







3

( )

sin x

4

3

( )

cos x

4

2

( )

sin x

6

2

( )

cos x

6

.  

Buning 

uchun quyidagini teramiz:  

> y:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6): 

> y=combine(y, trig); 









3

( )

sin x

4

3

( )

cos x

4

2

( )

sin x

6

2

( )

cos x

6

1

 

x

x

x

x

2

cos

2

sin

1

2

cos

2

sin

1









 ifodani soddalashtiring. Quyidagi ifodani kiriting: 

 >eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)): 

> convert(eq, tan): 

> eq=normal(“); 

)

tan(

1

)

2

cos(

)

2

sin(

1

)

2

cos(

)

2

sin(

1

x

x

x

x

x











. 

 

 

Maple muhitida trigonometric funksiyalar va ular bilan amallar 

 

 

1.  Matematik  funksiyalar.  Maple  da  ko‟plab  matematik,  shu  jumladan 

logarifmik,  eksponensional,  trigonometrik,  teskari  trigonometrik,  giperbolik  va 

boshqa    funksiyalar  ishlatiladi  (standart  funksiyalar  jadvaliga  qarang).  Ularning 

25 

 

hammasi bir argumentli. U butun, rasional, haqiqiy va kompleks bo‟lishi mumkin. 

Funksiyalarda argumentlar qavs ichiga olinadi. 

               “Maple” dasturida trigonometrik finksiyalarning yozilishi 

sinx 

sin(x) 

chx 

cosh(x) 

cosx 

cos(x) 

thx 

tanh(x) 

tgx 

tan(x) 

cthx 

coth(x) 

ctgx 

cot(x) 

secx 

sec(x) 

 

Masalan: 

> sin(Pi/3);       

Enter tugmasi bosing 

va natija : 

 

>cos(Pi/3) 

Enter : 

1/2 

> cos(Pi); 

Enter : 

-1

 

sin(Pi/3)+cos(Pi/2)+2*sin(Pi/12); 

Enter : 

 

> cot(Pi/2); 

Enter : 

0 

> tan(Pi/3); 

Enter : 

3

 

> x:=Pi/2:y:=sin(x)+cos(x); 

Enter : 

 := 

y

1

 

> exp(1.); 

Enter : 

2.718281828

 

> ln(1); 

Enter : 

0 

> arcsin(1); 

Enter : 

1

2



 

> arccos(1/2); 

Enter : 

1

3



 

 

 

 

26 

 

1)  cos(π/3)*sin(π/12)+tg(π/5)  berilgan trigonometrik funksiyani hisoblang. 

2*cos(Pi/3)*sin(Pi/15)+tan(Pi/5); Enter tugmasini bosing va natija: 

 

 

 

Berilgan sonnnig faktorialini hisoblash uchun Maple dasturida factorial 

buyrug‟i tanlanadi. 

Masalan. 

> factorial(10);   Enter tugmasini bosing natija: 3628800 

> factorial(23);  Enter tugmasini bosing natija: 25852016738884976640000 

 

Berilgan sonnnig kattasini hisoblash uchun Maple dasturida max buyrug‟i 

tanlanadi. 

> max(44,47,-60);      Enter tugmasini bosing natija: 47                  

> max(414,-620,-60,548,-56);  Enter tugmasini bosing natija: 548 

>max(414*9,-620+5,-60-5,548*3,-56*5); Enter tugmasini bosing natija:3726                               

Berilgan sonnnig eng kichigini  hisoblash uchun Maple dasturida min buyrug‟i 

tanlanadi. 

 > min(44,47,-60);      Enter tugmasini bosing natija: -60                  

> min(414,-620,-60,548,-56);  Enter tugmasini bosing natija: -620 

>min(414*9,-620+5,-60-5,548*3,-56*5); Enter tugmasini bosing natija:-615                  

 

 

“Maple” dasturida oddiy tenglamalarni yechish. 

 

 

Maple  muhitida  tenglamalarni  yechish  uchun  universal  buyruq  solve(t,x) 

mavjud,    bu  yerda    t  –  tenglama,  x  –  tenglamadagi  noma‟lum  o‟zgaruvchi.  Bu 

buyruqning bajarilishi natijasida  chiqarish satrida ifoda paydo bo‟ladi, bu ana shu 

tenglamaning yechimi hisoblanadi. Masalan: 

27 

 

> solve(a*x+b=c,x); 





b

c

a

 

 

Agar  tenglama  bir  nechta  yechimga  ega  bo‟lsa  va  undan  keyingi 

hisoblashlarda  foydalanish  kerak  bo‟lsa,  u  holda  solve  buyrug‟iga  biror-bir  nom 

name  beriladi..  Tenglamaning  qaysi    yechimiga  murojoat  qilish  kerak  bo‟lsa, 

uning  nomi  va  kvadrat  qavs  ichida  esa  yechim  nomeri  yoziladi:  name[k]. 

Masalan: 

> x:=solve(x^2-a=0,x); 

 := 

x

,

a



a

 

> x[1]; 

a

 

> x[2]; 



a

 

 

Tenglamalar sistemasini yechish.   Tenglamalar  sistemasi  ham  xuddi 

shunday  solve({t1,t2,…},{x1,x2,…}) buyrug‟i yordami bilan yechiladi, faqat endi 

buyruq  parametri  sifatida  birinchi  figurali  qavsda  bir-  biri  bilan  vergul  bilan 

ajratilgan  tenglamalar,  ikkinchi  figurali  qavsda  esa    noma‟lum    o‟zgaruvchilar 

ketma-ketligi yoziladi.  

Masalan: 

1)Tenglamalar sistemasini yeching. 

   

>eq:={x-y=1,x+y=3}; 

                     eq := {x - y = 1, x + y = 3} 

> s:=solve(eq,{x,y});  

Enter tugmasini bosib natija: 

                         s := {y = 1, x = 2}. 

 

 

 

28 

 

 

2)Tenglamalar sistemasini yeching. 

 

> eq:={2*x-2*y=4,x+4*y=6}; 

                               eq := {x + 4 y = 6, 2 x - 2 y = 4} 

> s:=solve(eq,{x,y}); 

          Enter tugmasini bosib natija: 

                      s := {y = 4/5, x = 14/5} 

3)Tenglamalar sistemasini yeching. 

 

“Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi: 

eq:={sqrt(x)-2*sqrt(y)=4,sqrt(x)+4*sqrt(y)=6}; 

                      

 

> s:=solve(eq,{x,y}); 

 

Enter tugmasini bosib natija: 

                      s := {y = 1/9, x = 196/9} 

 

 

 Agar  bizga  keyingi  hisoblashlarda  tenglamalar  sistemasining  yechimidan 

foydalanish yoki ular ustida ba‟zi arifmetik amallarni bajarish zarur bo‟lsa, u holda 

solve buyrug‟iga biror bir name nomini berish kerak bo‟ladi. Keyin esa ta‟minlash 

buyrug‟i    assign(  name)  bajariladi.  Shundan  keyin  yechimlar  ustida  arifmetik 

amallarni bajarish mumkin.  

Masalan: 

> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y}); 

 

 := 

s

{

}

,



y



a

5



a

2

5



x



1

a



a

2

5

 

 > assign(s); simplify(x-y);  

29 

 

6

1



a

2

5

 

 

Tenglamalarning sonli yechimini topish.   Agar  transsentdent  tenglamalar 

analitik  yechimga  ega  bo‟lmasa,  u  holda  tenglamaning  sonli  yechimini  topish 

uchun maxsus  buyruq    fsolve(eq,x)  dan  foydalaniladi,  bu  yerda  ham  parametrlar 

solve buyrug‟i kabi ko‟rinishda bo‟ladi.  

Masalan: 

> x:=fsolve(cos(x)=x,x); 

x:=.7390851332 

 

Funksional tenglamalarni yechish. rsolve(t,f) buyrug‟i yordamida  

 f  butun funksiya uchun  t  rekurrent tenglamani yechish mumkin.  f(n) funksiya 

uchun ba‟zi bir boshlang‟ich shartlarni berish mumkin, u holda berilgan rekurrent 

tenglamaning xususiy yechimi hosil bo‟ladi 

Masalan: 

>eq:=5+f(n)=21*f(n)-f(n);     

                                                        eq := 5+f(n) = 20*f(n) 

rsolve({eq,f(1)=0,f(2)=1},f); 

                                                      {f(2) = 1, f(1) = 0, f(n) = 5/19} 

 

Natijada  oshkor  bo‟lmagan  ko‟rinishdagi  yechim  paydo  bo‟ladi.  Lekin 

Maple  muhitida bunday yechimlar ustida ishlash imkoni ham mavjud. Funksional 

tenglamalarning oshkor bo‟lmagan yechimlarini convert buyrug‟i yordamida biror 

elementar  funksiyaga  almashtirib  olish  mumkin.  Yuqorida  keltirilgan  misolni 

davom ettirgan holda , oshkor ko‟rinishdagi yechimni olish mumkin: 

> f:=convert(F(x),radical);  

 := 

f



3

2

1

2



9

8 x

 

 

Trigonometrik tenglamalarni yechish. 

Trigonometrik  tenlamani  echish 

uchun qo‟llanilgan  solve buyrug‟i faqat bosh yechimlarni, ya‟ni [0, 2] intervaldagi 

yechimlarni 

beradi. 

Barcha 

yechimlarni 

olish 

uchun 

oldindan 

EnvAllSolutions:=true qo‟shimcha buyruqlarni kiritish kerak bo‟ladi . Masalan: 

> _EnvAllSolutions:=true:  

30 

 

> solve(sin(x)=cos(x),x); 



1

4

 

_Z1~

 

 

 Maple muhitida _Z~  belgi butun turdagi o‟zgarmasni anglatadi,  

shuning uchun ushbu tenglama yechimining odatdagi ko‟rinishi x:=π/4+πn  

bo‟ladi,  bu yerda  n – butun son.  

 

Transsendent  tenglamalarni  yechish.Transsendent  tenglamalarni  yechish-

da yechimni oshkor ko‟rinishda olish uchun  solve buyrug‟idan oldin qo‟shimcha 

_EnvExplicit:=true buyrug‟ini kiritish kerak bo‟ladi.  

 

Murakkab transsendent tenglamalar sistemasini yechish va uni 

soddalashtirishga misol qaraymiz: 

> t:={ 7*3^x-3*2^(z+y-x+2)=15, 2*3^(x+1)+3*2^(z+y-x)=66, ln(x+y+z) -

3*ln(x)-ln(y*z)=-ln(4) }: 

> _EnvExplicit:=true: 

> s:=solve(t,{x,y,z}): 

> simplify(s[1]);simplify(s[2]); 

{x =2, y =3, z  =1}, {x =2, y =1, z =3} 

Yuqorida keltirilgan fikrlar asosida quyidagi misollarni qaraymiz. 

 

1.Tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini toping 

 

Buyruqlar satrida tering: 

>eq:={x^2-y^2=1,x^2+y=2}; 

                                                     _EnvExplicit:=true: 

>s:=solve(eq,{x,y}); 

 

 

Enter tugasini bosib natija: 

 

2. Endi topilgan yechimlar majmuasining yig‟indisini toping. 

  

Buyruqlar satrida tering: 

> x1:=subs(s[1],x): y1:=subs(s[1],y): 

















2

1

2

2

2

y

x

y

x

31 

 

x2:=subs(s[2],x): y2:=subs(s[2],y): 

> x1+x2; y1+y2; 

 

3.  



x

2

( )

cos x

tenglamaning sonli yechimini toping. 

 

Buyruqlar satrida tering: 

:  

> x=fsolve(x^2=cos(x),x); 

x=.8241323123 

 

4. 





( )

f x

2

2 ( )

f x

x

 tenglamani qanoatlantiruvchi  f(x) funksiyani toping. 

 

 

Tering:  

> F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f);  

F:= proc(x) RootOf(_Z^2- 2*_Z- x) end 

> f:=convert(F(x), radical);  

 := 

f



1



1

x  

 

5.  5sinx + 12cosx=13 tenglamaning barcha yechimlarini toping. 

 

Buyruqlar satrida tering:  

> _EnvAllSolutions:=true: 

> solve(5*sin(x)+12*cos(x)=13,x); 













arctan

5

12

 

 

“Maple” dasturida oddiy tengsizliklarni yechish 

 

 

 Su bilan birga solve  buyrug‟i oddiy tengsizliklarni hisoblashda ham 

ishlatiladi. Tengsizlik yechimi izlanayotgan o‟zgaruvchining o‟zgarish intervali 

ko‟rinishida beriladi. Bunday holda, agar tengsizlik yechimi yarim o‟qdan iborat 

bo‟lsa, u holda chiqarish joyida   RealRange(–∞ , Open(a)) ko‟rinish-dagi 

konstruksiya paydo bo‟ladi, ya‟ni xЄ (–∞ , a), a – biror son. Open  so‟zi interval 

ochiq chegarali degan ma‟noni bildiradi. Agar bu so‟z bo‟lmasa ,  u holda mos 

chegaralar ham yechimlar to‟plamiga kiradi.  

Masalan: 

> s:=solve(sqrt(x+3)

32 

 

 













RealRange

,













Op en

2

3

21



 

 

Agar siz tengsizlik yechimini xЄ (a, b) turdagi intervalli to‟plamlar 

ko‟rinishida emas , a<x, x< b  turdagi izlanayotgan o‟zgaruvchini chegaralanganlik 

ko‟rinishida olmoqchi bo‟lsangiz, u holda  tengsizlik yechiladigan o‟zgaruvchi 

figurali qavsda ko‟rsatilishi lozim.  

Masalan: 

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x}); 

{

}

,



0

x



x

e

(

)

-2

 

 

Tengsizliklar sistemasini yechish.  solve buyrug‟i yordamida tengsizliklar 

sistemasini ham yechish mumkin.  

Masalan

: 

;    

       tengsizliklar sistemasini yeching. 

“Maple” dasturida ushbu tengsizlik quyidagicha kiritiladi: 

>solve({2*x+y>=4,  x-2*y<=1, 8*x-y>=16,  x-2*y>=1},{x,y}); 

 

                       {8/15 <= y, x = 2 y + 1} 

 

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y}); 

{

}

,



x



2 y

1



1

3

y

 

 

Misollar 

1. Tengsizlikni yeching: 13x

3

-25x

2

-x

4

-129x > 0.   

 

Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak:  

> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x); 

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9)) 

2. Tengsizlikni yeching: (2x-3) <  1.   

 

Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak: 

 solve((2*x-3)<1,x);   

33 

 

Enter tugmasini bosib natija:              RealRange(-infinity,Open(2)) 

3.Tengsizlikni yeching: (x-3) >(6-x)   

Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak: 

>solve((x-3)>(6-x),x); 

Enter tugmasini bosib natija:     

 

Agar tengsizlik yechimini x



(a, b)  kabi interval kо„rinishda emas,  a<x, x< b 

shakldagi cheklanishlar kо„rinishida olmoqchi bо„lsangiz, buyruq parametridagi 

izlanuvchi о„zgaruvchini figurali qavsda kо„rsatish lozim bо„ladi. Masalan: 

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x}); 

}

,

0

{

)

2

(







e

x

x

 

 “Maple” dasturida vektorlar bilan ishlash 

Chiziqli algebra masalalarini yechish buyruqlarining asosiy qismi linalg 

kutubxonasiga (paketiga) tegishli. Shu sababli matritsalar va vektorlarga oid 

masalalarni yechishdan oldin  linalg kutubxonasini with(linalg)buyrug„i orqali 

yuklab olishimiz lozim.  

 

Vektorlarning berilish usullari.  

Maple vektorni aniqlash uchun vector([x1,x2,…,xn] buyrug„i foydalaniladi,  

bu kvadrat qavslarda vektor koordinatalari vergullar ajratib ko„rsatiladi.Masalan: 

> x:=vector([1,0,0]); 

x:=[1, 0, 0] 

Koordinatalari aniq x vektorning ixtiyoriy koordinatini natijalar satrida hosil qilish 

uchun buyruqlar satriga x[i] buyrug„ini kiritish kifoya, bu yerda i koordinata 

tartibi. Masalan, yuqoridagi misoldagi vektorning birinchi koordinatini 

quyidagicha hosil qilish mumkin: 

> x[1]; 

34 

 

Vektorni ruyhat ko„rinishga keltirish va aksincha ro„yhatni vektor ko„rinishga 

keltirishda convert(vector, list) ili convert(list, vector).Vektor mojno 

preobrazovat v spisok i, naoborot, s pomoshyu komandi convert(vector, list) yoki