O’zbekiston respulikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

Birinchi tartibli differensial tenglamalar.
Birinchi tartibli differensial tenglamalarning umumiy ko’rinishi
F(x,y,y^/)=0 (6)
Kabi bo’ladi. (6) ning umumiy ko’rinishdagi yechimi quyidagicha bo’ladi:
φ(x,y,C)=0 (7)
Birinchi tartibli differensial tenglamalarning turlarini qarab chiqaylik.
1. Eng soda ko’rinishdagi differensial tenglama

shaklda bo’ladi. Uning umumiy yechimi
dy = ƒ(x) dx
y=φ∫ ƒ(x)dx + C (9) ko’rinishda bo’ladi.


O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.
(6) tenglamani quyidagi ko’rinishda ham yozsak bo’ladi:
M(x, d) dx + N(x, y) dy = 0 (10)
bu yerda M (x, y) va N (x, y) funksiyalar x va y ga bog’liq bo’lib, quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin:

1. 
   M (x, y) = M (x), N(x, y) = N (y) bo’lsin. U holda (10) tenglama
   

M (x) dx = N (y) dy= 0 (11)
Ko’rinishda bo’lib
∫ N (y)dy = - ∫ M (x) dx
bo’ladi. Bu yerda ∫ N (y)dy = φ(y)² ∫ M (x)dx = φ₂(x) deb belgilasak, φ₁(y) = φ₂(x) + C₂
funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
M (x, y) = M₁(x) M₂(y); N(x, y) = N₁(x) ∙ N₂(y) bo’lsin.
U holda (10) tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
M₁(x)M₂(y) dx + N₁(x) ∙ N₂(y) dy = 0. (12)
O’zgaruvchilarni ajratamiz:

Integrallab, umumiy yechimni topiladi.
(11) va (12) tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deyiladi.
Misollar. 1. (x – 1) dx + ydy=0.
Yechish: (x – 1) dx = - ydy.
Ikkala tomonidan integral olsak,
∫ (x – 1) dx = - ∫ ydy,

x² – 2x + y² + C₁ = 1 (C₁= - 2C).
Bu funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
2.
Yechish: Tenglamadan:
O’zgaruvchilarni ajratamiz:

Tenglamani integrallaymiz:
∫
ln (y+1) = ,
y+1=C
Demak, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi y = C bo’ladi.