О‘zbekistоn resрublikаsi оliy tа’lim, fan va innovatsiyalar vаzirligi сhirсhiq dаvlаt рedаgоgikа universiteti

Ta‘rif. Agar 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍 chevianalar bir nuqtada kesishsa, ular konkurent chevianalar deb ataladi.
Teorema (Cheva teoremasi). ∆𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍 chevianalar
konkurent bo‘lsa (3-rasm), ^𝐴𝑌 ∙ ^𝐶𝑋 ∙ ^𝐵𝑍 = 1 tenglik o‘rinli bo‘ladi
𝐶𝑌 𝐵𝑋 𝐴𝑍
[http://library.ziyonet.uz/ru/book/download/32319].

Isbot (1-usul). 1-teoremaga ko‘ra ^𝐴𝑌 = ^{𝑆𝐴𝐵𝑌}
_va 𝐴𝑌 ₌ 𝑆_𝐴𝑂𝑌
bundan ^{𝑆𝐴𝑂𝑌} = ^{𝑆𝐴𝐵𝑌}

𝐶𝑌
^𝑆𝐵𝑌𝐶
𝐶𝑌
^𝑆𝑂𝑌𝐶
^𝑆𝑂𝑌𝐶
^𝑆𝐵𝑌𝐶

bo‘ladi. Lemmaga ko‘ra ^{𝑆𝐴𝐵𝑌} = ^𝑆𝐴𝑂 = ^{𝑆𝐴𝐵𝑌−𝑆𝐴𝑂𝑌} = ^{𝑆𝐴𝑂𝐵}
demak, ^𝐴𝑌 = ^{𝑆𝐴𝑂𝐵}
tenglik

^𝑆𝐵𝑌𝐶
^𝑆𝑂𝑌𝐶
^𝑆𝐵𝑌𝐶^−𝑆𝑂𝑌𝐶
^𝑆𝐵𝑂𝐶
𝐶𝑌
^𝑆𝐵𝑂𝐶

o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shunday, ^𝐶𝑋 = ^{𝑆𝐴𝑂𝐶} va ^𝐵𝑍 = ^{𝑆𝐵𝑂𝐶} tengliklarni ham yoza olamiz.

𝐵𝑋
^𝑆𝐴𝑂𝐵
𝐴𝑍
^𝑆𝐴𝑂𝐶

Bu tengliklardan: ^𝐴𝑌 ∙ ^𝐶𝑋 ∙ ^𝐵𝑍 = ^{𝑆𝐴𝑂𝐵} ∙ ^{𝑆𝐴𝑂𝐶} ∙ ^{𝑆𝐵𝑂𝐶} = 1 munosabat kelib chiqadi.

Teorema isbotlandi.
𝐶𝑌
𝐵𝑋
𝐴𝑍
^𝑆𝐵𝑂𝐶
^𝑆𝐴𝑂𝐵
^𝑆𝐴𝑂𝐶

Isbot (2-usul). Menelay teoremasidan foydalanib Cheva teoremasini isbotlaymiz.

1. 
   ∆𝐴𝐶𝑍 uchburchak tomonlarida yoki tomonlarining davomida yotuvchi 𝐵, 𝑂 va
   

𝑌 nuqtalar bir to’g’ri chiziqda joylashgani sababli Menelay teoremasiga ko’ra:
^𝐴𝑌 ∙ ^𝐶𝑂 ∙ ^𝐵𝑍 = 1 (*)
𝐶𝑌 𝑂𝑍 𝐴𝐵

2. 
   ∆𝐵𝐶𝑍 uchburchak tomonlarida yoki tomonlarining davomida yotuvchi 𝐴, 𝑂 va
   

𝑋 nuqtalar bir to’g’ri chiziqda joylashgani sababli Menelay teoremasiga ko’ra:


^𝐵𝑋 ∙ ^𝐶𝑂 ∙ ^𝐴𝑍 = 1 (**)
𝐶𝑋 𝑂𝑍 𝐴𝐵

3. 
   (*) va (**) tengliklarni nisbatlasak quyidagi munosabat o’rinli bo’ladi:
   
4. 
   

^𝐴𝑌 ∙ ^𝐶𝑋 ∙ ^𝐵𝑍 = 1 teorema isbotlandi.
𝐶𝑌 𝐵𝑋 𝐴𝑍

Menelay teoremasidan foydalanib uchburchakning medianalari kesishish nuqtasida uchburchak uchidan hisoblanganda 2:1 nisbatda bo’lishini mustaqil isbotlash mumkin bo’ladi.

Murakkab geometrik masalalarga tatbiqlari.


1-masala (Abituriyent gazetasidan a7-g4-22). ABC uchburchakda BE mediana. AB tomondan D nuqta olingan va AD=2DB. CD va BE kesmalar F nuqtada kesishadi. Agar CFE uchburchakning yuzi 8 ga teng bo’lsa, ABC uchburchak yuzini toping.