О‘zbekistоn resрublikаsi оliy tа’lim, fan va innovatsiyalar vаzirligi сhirсhiq dаvlаt рedаgоgikа universiteti

_{О‘ZBEKISTОN RESРUBLIKАSI}
ОLIY TА’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VАZIRLIGI
СHIRСHIQ DАVLАT РEDАGОGIKА UNIVERSITETI

“MATEMATIKA VA INFORMATIKA ” FAKULTETI
“ELEMENTAR MATIMATIKA (GEOMETRIYA)” FANIDAN
KURS ISHI

MAVZU: Uchburchakda Cheva Styuart hamda Menelay

teoremalari va ularning isbotlashga tadbiqlari.

BAJARDI: Azimjanov A.A
QABUL QILDI: ERGASHEV.I.A


CHIRCHIQ-2023

Uchburchakda Cheva Styuart hamda Menelay teoremalari va ularning isbotlashga tadbiqlari.

Bizga ∆ABC berilgan bo’lib, AC tomon yotuvchi to’g’ri chiziqdan Z nuqta berilgan bo’lsin, X va Y nuqtalar esa mos ravishda AB va BC tomonlardan olingan deb faraz qilsak (1-rasm), u holda quyidagi teorema o’rinli:
Menelay teoremasi. Agarda ∆ABCning tomonlarida yoki tomonlarining davomida
yotuvchi X, Y va Z nuqtalar quyidagi ^AX ∙ ^BY ∙ ^CZ = 1 shartni qanoatlantirsa, unda bu
BX CY AZ
nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi.
Isbot. O nuqta XZ kesmadan olingan va CO ∥ AB ga parallel bo’lsin(1-rasm),

1. 
   ∠AZX = ∠CZO umumiy burchaklar teng va CO ∥ AB ligidan mos ∠XAZ =
   

∠OCZ burchaklar tengligidan ∆AXZ~∆COZ uchburchaklar o’xshash =>
AX ₌ AZ _{=> oc =} AX∙CZ ₍₁₎
OC CZ AZ

2. 
   Vertikal burchaklar tengligidan ∠OYC = ∠BYX va CO ∥ AB parallel kesmalar uchun BC kesuvchi bundan ichki almashinuvchi burchaklar ∠COY = ∠BXY teng. Demak ∆BYX~∆YOC uchburchaklar o’xshash =>
   

BY ₌ BX _{=> oc =} CY∙BX ₍₂₎
CY OC BY

3. 
   (1) va (2) ifodalarni mos ravishda nisbatlasak
   

AX ∙ CZ ∙ BY



AZ ∙ CY ∙ BX
AX BY CZ
= ∙ ∙ = 1
BX CY AZ

munosabatga ega bo’lamiz. Teorema isbotlandi.
Bizga ∆ABC uchburchak va uning tomonlarida X, Y, Z nuqtalar berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Uchburchakning uchidan chiqib shu burchak qarshisidagi tomonni tutashtiruvchi kesma cheviana deb ataladi. [http://library.ziyonet.uz/ru/book/download/32319]
1-Teorema. Uchburchakning BD chevianasi: AC tomonni a va b kesmalarga,
∆𝐴𝐵𝐶 uchburchakni esa ∆𝐴𝐵𝐷 va ∆𝐵𝐷𝐶 uchburchaklarga ajratsa unda
^𝑎 = ^{𝑆𝐴𝐵𝐷} tenglik o‘rinli bo‘ladi.
^{𝑏 𝑆}𝐵𝐷𝐶
Isbot. ∆𝐴𝐵𝐶 uchburchakning AC asosiga BE=h balandlik tushirsak, bu balandlik
AD va DC asoslar uchun umumiy balandlik bo‘ladi

(2-rasm). Demak 𝑆
= ^𝑎∙ℎ va 𝑆

= ^𝑏∙ℎ o‘rinli, bundan ^{𝑆𝐴𝐵𝐷} =

𝑎∙ℎ 2
₌ 𝑎∙ℎ ₌ 𝑎

kelib chiqadi.

𝐴𝐷𝐵 ₂
𝐵𝐷𝐶 ₂
^𝑆𝐵𝐷𝐶
𝑏∙ℎ
2
𝑏∙ℎ 𝑏

Demak, asosdan cheviana ajratgan kesmalar nisbati mos ravishda cheviana ajratgan uchburchaklarning yuzalari nisbatiga teng bo‘lar ekan.
Biz quyida bir muhim lemmani isbotini qarab chiqamiz.

Lemma. Agar ^𝑎 = ^𝑐
bo‘lsa, ^𝑎 = ^𝑐 = ^𝑎−𝑐
bo‘ladi

𝑏 𝑑
𝑏 𝑑 𝑏−𝑑

[http://library.ziyonet.uz/ru/book/download/32319].
Isbot. ^𝑎 = ^𝑐 = 𝜃 deb belgilash olsak, 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝜃 va 𝑐 = 𝑑 ∙ 𝜃 bo‘ladi, bundan
𝑏 𝑑
^𝑎−𝑐 = ^{𝑏∙𝜃−𝑑∙𝜃} = ^{𝜃∙(𝑏−𝑑)} = 𝜃. Demak, ^𝑎 = ^𝑐 = 𝜃 = ^𝑎−𝑐 lemma isbotlandi.

𝑏−𝑑
𝑏−𝑑
𝑏−𝑑
𝑏 𝑑
𝑏−𝑑

Uchburchak ∆𝐴𝐵𝐶 da 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍 kesmalar chevianalar bo‘la oladi(2-rasm).