O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalarda o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli. Reja

Misol.

1. 
   
   
2. 
   
   

Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz
– ushbu tenglama mumkin boʻlgan ikki xil yechimga ega.
3)
1-yechim: Klero tenglamasining umumiy integrali (yechimi) toʻgʻri chiziqlar oilasini tashkil qiladi.
2-yechim: yechim parametrik koʻrinishda tenglamalar sistemasidan topiladi:
ikkinchi yechimni topamiz

Ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi.
Ushbu
(1.2.1)
ko‘rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli tenglama deyiladi, bu yerda va biror oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.
Chiziqli tenglamalarni yechishning eng keng tarqalgan usuli ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usulidir.
Agar (1.2.1) tenglamada bo‘lsa, u holda
(1.2.2)
ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘lib, u (1.2.1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglama deyiladi.
Avvalo (1.2.2) tenglamani, ya’ni (1.2.1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz. (1.2.2) tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo‘lib, u
(1.2.3)
ko‘rinishdagi umumiy yechimga ega. (1.2.1) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun (1.2.3) dagi ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalaymiz, ya’ni (1.2.3) formulada o‘zgarmasning o‘rniga funksiya deb qaraymiz:
(1.2.4)
Endi esa (1.2.4) funksiyani va undan olingan

hosilani (1.2.1) tenglamaga qo‘yib, oson integrallanadigan
(1.2.5)
differensial tenglamaga keltiramiz. Undan funksiyani topamiz:
.
Topilgan funksiyani (1.2.4) formulaga qo‘yib, berilgan (1.2.1) chiziqli tenglamaning umumiy yechimiga ega bo‘lamiz:
. (1.2.6)
Birinchi tartibli (1.2.1) chiziqli tenglamaning umumiy yechimini (1.2.6) formula yordamida aniqlashda va aniqmas integrallarning har biridagi boshlang‘ich funksiyalardan bittasini olish etarli, chunki ularga ixtiyoriy o‘zgarmaslarni qo‘shish faqat ixtiyoriy o‘zgarmasning qiymatini o‘zgartiradi, xolos, bu esa differensial tenglamaning umumiy yechimi uchun muhim emas.
Bu usulning nomi ixtiyoriy o‘zgarmasni argumentning funksiyasi deb qarab, uni variatsiyalaganimizdan (o‘zgartirganimizdan) kelib chiqqan.
Bu yerda ko‘rib chiqilgan ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli bitta (1.2.1) chiziqli tenglamani integrallash masalasini o‘zgaruvchilari ajraladigan ikkita (1.2.2) va (1.2.5) tenglamalarning yechimlarini izlashga olib keladi.