«oziq-ovqat sanoati mashina va jihozlari mexanika asoslari»

 
Nuqtaning tezligi. Harakat qonuni vektor usulda berilganda nuqtaning tezligi. 
 
Nuqta  tezligi  vektor  miqdor  bo’lib,  nuqta  harakatining  berilgan  momentdagi 
shakl 8. 
O+ 
M
0
 
M 
S 
r

 
0
M
 
M
 
y 
x 
O 
0
r

 
r


 
v

 
0
v

 
A
 
B
 

 
33 
tezligi  va  bu  harakatning  yo’nalishini  harakterlaydi.  Nuqta  AB  egri  chiziqli 
traektoriya chizgan bo’lsin, 
)
(t
r
r

 - harakat tenglamasi. Harakatlanayotgan bu nuqta 
holatini  ixtiyoriy  olingan  qo’zg’almas  O  nuqtadan  o’tkazilgan,  uning 
)
(t
r
  radius 
vektori  bilan  aniqlanadi  (49-shakl).  Kichik  vaqt 
t

  oralig’ida  esa  ya’ni 
t
t


  
momentda  M

  holatni  olsin.  M

  nuqtaning  radius  vektorini 
1
r   bilan  belgilaymiz. 
M
M

vektor  nuqtaning 
t

  vaqtdagi  ko’chishi  deb  ataladi. 
M
M

  ko’chishni  vaqt 
oralig’i 
t

    ga  nisbatini  ifodalovchi 
MK
  vektorni  o’rtacha  tezlik  deyiladi.  Agar 
nuqtaning o’rtacha tezligini 
*

 bilan belgilasak, 
MK
t
MM



'
*

       ga teng. 
  
49-shakl. 
Endi 
t

  ni  nolga  intiltirib  boramiz,  bunda  M

  nuqta  M  nuqtaga  intiladi. 
*

 
vektor  yo’nalishining  limiti  traektoriyaning  M  nuqtasidagi  urinma  yo’nalishiga  mos 
keladi, uning moduli esa,  
Ml
MK
t
MM
t
t
t











0
0
0
lim
'
lim
*
lim


 
Ammo 

M
OM

uchburchakdan 
M
M
r
r
1



, 
____
1
r
r
r
M
M





  olamiz.  Bu  erda 
r

 
harakatlanayotgan nuqta radius vektorining 
t

 vaqtdagi o’zgarishidir. Shuning uchun 
t
r
va
t
r
t








0
lim
*


.  
Demak,  
dt
r
d


  
 
 
 
 
(4.10) 
ya’ni,  harakatlanayotgan  nuqta  tezligi  bu  nuqtaning  radius  vektoridan  vaqt 
bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga teng. 
 
Harakat qonuni koordinata va tabiiy usulda berilganda nuqtaning tezligi. 
Nuqta harakati koordinat usulda berilgan bo’lsin: 








)
(
)
(
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x
 
 
 
 
 
 
(4.11) 
 
r
 radius vektorni koordinata o’qlaridagi proekstiyalari orqali yozish mumkin. 

 
K 
M' 
r


r
d
 
r
 
O 
A 
 
M 
1
r
 

 
34 
k
z
i
y
i
x
r



              
 
 
 
(4.12) 
Bu erda 
k
j
i
,
,
 koordinata o’qlari bo’ylab yo’nalgan birlik vektorlardir. Tezlik 
vektorining  koordinata  o’qlaridagi  proekstiyalari 
z
y
x



,
,
  bo’lsin,  u  holda 

  ni 
quyidagicha yozish mumkin. 
k
j
i
z
y
x







   
 
 
 
 
(4.13) 
(4.10) va (4.12) ni (4.13) ga qo’ysak, quyidagini hosil qilamiz: 
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
k
z
j
y
i
x
dt
d
k
j
i
z
y
x








)
(



 
Ifoda  ayniyat  bo’lgani  uchun  birlik  vektorlar  oldidagi  koeffitsientlar 
tegishlicha bo’lishi kerak: 
z
dt
dz
y
dt
dy
x
dt
dx
z
y
x












;
;
  (4.14) 
Demak, tezlik vektorining koordinata o’qidagi proekstiyasi harakatdagi nuqta 
koordinatasidan vaqtga nisbatan olingan hosilaga teng bo’lar ekan.  
Vektorning proekstiyalari ma’lum bo’lsa, uning moduli va yo’nalishini topish 
mumkin. U proekstiyalarga qurilgan parallelopiped diagonaliga teng, shunga ko’ra: 
2
2
2
z
y
x







 
 
 
 
  
Tezlik  vektorining  yo’naltiruvchi  kosinuslari  uchun  quyidagi  formulalarni 
yozamiz 









z
y
x
k
j
i






)
,
cos(
;
)
,
cos(
;
)
,
cos(
 
Harakat tekislikda bo’lsa, X, Y o’qlarni harakat tekisligida olamiz 
2
y
2
x
y
x
;
dt
dy
;
dt
dx









 






y
x
j
i




)
,
cos(
;
)
,
cos(
 
 
Harakat qonuni tabiiy usulda berilganda nuqta tezligi. 
 
Nuqta 
berilgan 
traektoriya 
bo’ylab 
)
(t
f
C

 
qonuniga 
muvofiq 
harakatlanayotgan  bo’lsin.  Nuqta  t  vaqtda  M  vaziyatda  va 
t
t


  momentda  esa 
M

 
vaziyatda bo’lsin (50-shakl) 
____
__
__
_____
_____
______
'
'
'
S
S
S
OM
OM
MM






 
bo’ladi. 
Traektoriyasi  ma’lum  bo’lgandagi  nuqtaning  istalgan  momentdagi  tezlik 
vektori  urinma  bo’ylab  yo’naladi.  Shuning  uchun  bizga  tezlikning  modulini 
topishgina qoladi. Ma’lumki, tezlik 
t
MM
t
t







'
lim
*
lim
0
0


 

 
35 
 
50-shakl. 
Shakl almashtirish kiritamiz 
t
S
lim
S
r
lim
t
S
S
'
M
M
lim
0
t
0
S
0
t


















 






S
r
lim
0
S
 bo’lgani uchun tezlik moduli  
)
t
(
'
f
dt
ds
t
S
lim
0
t








 
 
 
   
 
(4.15) 
bo’ladi. 
0
dt
/
ds

  bo’lsa,  S  o’sib  boradi. 
0

dt
ds
  bo’lsa  harakat  teskari  sodir  bo’ladi, 
keyingi  holda  tezlik  moduli  uchun 
dt
ds
ning  absolyut  qiymati  olinadi,  ya’ni 
/
/
dt
ds


. 
Agar 
const
dt
ds



  bo’lsa,  harakat  tekis  bo’ladi  ya’ni  S=S0+

t,  agar  t=0  da  S0=0 
bo’lsa, 
t
S



 bo’ladi.  
 
Nuqtaning tezlanishi. 
 
1. Harakat qonuni vektor usulda berilganda nuqta tezlanishi. 
Nuqtaning  tezlanishi  vektor  kattalik  bo’lib,  berilgan  daqiqadagi  nuqta  tezlik 
vektorining vaqtga qarab o’zgarishini xarakterlaydi. Traektoriya bir tekislikda yotsin 
(50-shakl). 
Harakatlanayotgan  nuqta  traektoriyada  t  daqiqada  M  holatda,  tezligi 

 
bo’lsin, bu nuqta 

t kichik vaqt oralig’ida, ya’ni t+

t daqiqada  M

 holatni olsin va 
tezligi 
1

  bo’lsin, 
1

vektorni  M

  nuqtaga  parallel  ko’chiramiz,  uning  uchini 
1

 
vektorning  uchi  bilan  tutashtiramiz  va  chizilgan  uchburchakning  parallelogrammga 
to’ldiramiz.  U  holda 







'
A
М
  bo’lgani  uchun 
MA
  vektor 

t  vaqtda  tezlik 
o’zgarishini  ifodalaydi.  Endi 

t  vaqtga  mos  keluvchi 


  vektorni 

t  ga  nisbatiga 
teng  bo’lgan 
MB
  vektorni  yasaymiz.  Ya’ni 
t
A
M
t
В
М






  bu  vektor  nuqtaning 

t 
vaqtdagi o’rtacha tezlanishi deyiladi. 
' 

 
36 
 
51-shakl. 
Uning 

t  nolga  intilgandagi  daqiqada  M  nuqtaning  haqiqiy  tezlanishi 
vektorini ifodalaydi. 
t
d
d
a
t
d
d
t
MB
a
t
t













0
0
lim
lim
   
 
 
 
 
(4.16) 
Bu  vektorni  chizmada 
MC
  vektor  bilan  ifodalaymiz. 
MC
  traektoriya 
tekisligida yotadi. 
M  nuqta  bir  tekislikda  yotmaydigan  egri  chiziqli  traektoriya  bo’ylab 
harakatlansin (52-shakl). 
Egri chiziqda bir-biriga yaqin ikkita M va M1 nuqtalarni olib, hap biri orqali 
nuqtaning harakati yo’nalishida 

M
 va 
1
1

M
 urinmalarini o’tkazamiz. Egri chiziq bir 
tekislikda yotmagani uchun ikki 

M
 va 
1
1

M
 urinmalar orqali bitta tekislik o’tkazib 
bo’lmaydi.  M  nuqtadan 
1
1

M
  ga  parallel 
1

M
  chiziqni  o’tkazamiz 
1
1


M
  yotgan 
tekislikni  P0  bilan  belgilaymiz.  M1  nuqta  M  ga  intilnganda  P0  tekislikning 

M
 
atrofida aylanib, holati o’zgarib boradi. M1 nuqta M ga intilganda P0 ning egallagan 
limiti holatini P bilan belgilaymiz. 
P  tekislikda 

M
  bilan  egri  chiziqning  juda  kichik  elementi  ham  joylashadi. 
Shunday  tekislik  egri  chiziqning  egrilik  yoki  yopishma  tekisligini  ifodalaydi.  Agar 
egri  chiziq  bir  tekislikda  yotsa,  shu  tekislik  egrilik  tekisligi  bo’ladi.  Egri  chiziqning 
(traektoriyaning)  qaralayotgan  nuqtasidan  o’tgan  urinma  va  shu  nuqtaga  juda  yaqin 
bo’lgan  nuqtalar  orqali  o’tgan  tekislik  yopishma  tekislik  deyiladi.  Tezlanish 
vektorining  yopishma  tekislikda  yotishi  uning  ta’rifidan  ko’rinib  turibdi. 


  tezlik 
orttirmasi  traektoriyaning  botiq  tomoniga  qarab  yo’nalgani  uchun,  tezlanish  vektori 
ham shu tomonga qarab yo’naladi. 

1

1

A
M
1
M
B
a
C 

 
37 
 
52-shakl. 
 
Harakat qonuni koordinata usulda berilgandagi nuqta tezlanishi 
 
Tezlanish  vektorining  koordinata  o’qlaridagi  proekstiyalari 
x
a
, 
y
a
, 
z
a
  bo’lsin. 
a
 tezlanishni proekstiyalari orqali ifodalaymiz. 
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x



   
 
 
 
 
(4.17) 
(4.14) va (4.16) formulalarni (4.17) ga qo’yamiz. 


)
18
.
4
(
k
dt
d
j
dt
d
i
dt
d
k
j
i
dt
d
k
a
j
a
i
a
z
y
x
z
y
x
z
y
x














    
const
k
j
i

,
,
 
Yuqoridagi  ifoda  ayniyat  bo’lgani  uchun 
k
j
i
,
,
  birlik  vektorning  oldidagi 
koeffitsientlar tegishlicha bir-biriga teng bo’lishi kerak: 
;
dt
d
a
;
dt
d
a
;
dt
d
a
z
z
y
y
x
x






   
 
 
 
(4.19) 
Bu formulalarga 
z
y
x



,
,
 ning qiymatlarini (4.19) keltirib qo’ysak, tezlanish 
proekstiyalarini koordinatalar orqali ifodalagan bo’lamiz. 
























z
dt
z
d
dt
d
a
y
dt
y
d
dt
d
a
x
dt
x
d
dt
d
a
z
z
y
y
x
x
2
2
2
2
2
2



  
 
 
 
(4.20) 
Demak,  tezlanish  vektorining  koordinata  o’qidagi  proekstiyalari,  tezlik 
vektorining tegishlicha koordinata o’qidagi proekstiyasining vaqtga nisbatan birinchi 
tartibli  hosilasiga  yoki  harakatlanayotgan  nuqta  koordinatasining  ikkinchi  tartibli 
hosilasiga teng bo’lar ekan. Tezlanishning moduli va uning yo’naltiruvchi kosinuslari 
quyidagicha yoziladi. 
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a



 
0

 
А 
М 
P 
P
0
 
В 
y 
x 
z 

 
М
1
 
1

 
1

 
О 

 
38 















a
a
k
a
a
a
j
a
a
a
i
a
z
y
x
)
,
cos(
)
,
cos(
)
,
cos(
 
Harakat qonuni tabiiy usulda berilgandagi nuqta tezlanishi. 
 
Nuqtaning  harakat  tenglamasi  tabiiy  usulda  berilgan  bo’lsa,  (4.20),  nuqta 
tezlanish  vektorini  uning  tabiiy  koordinata  o’qlaridagi  proekstiyalari  orqali  aniqlash 
ancha qulay bo’ladi. 
Nuqta  AB 
traektoriya 
bo’ylab  harakatlansin.  Traektoriya  bo’ylab 
harakatlanuvchi M nuqta tezlanishining tabiiy koordinata o’qlaridagi proekstiyalarini 
topamiz (53-shakl). 
 
53-shakl 
Buning  uchun  M  nuqtadan  traektoriyaning  musbat    yo’nalishi  bo’ylab 

M
 
urinma  va  traektoriyani  botiq  tomoniga  qarab 
Mn
  bosh  normal  o’tkazamiz.  Bu  ikki 
urinma  va  bosh  normal  traektoriyaning  M  nuqtasidan  o’tgan  yopishma  tekislikda 
yotadi.  Egri  chiziqli  harakatda  nuqta  tezlanishi  yopishma  tekislikda  yotishi  bizga 
ma’lum. Endi biz 
a
 tezlanish vektorining urinma va bosh normaldagi proekstiyalarini 
aniqlaymiz. Aytaylik  t  vaqtda  nuqta  M  holatda  bo’lib,  uning  tezlik  vektori 

tezlik 
t
t


 vaqt o’tgandan keyin M1 holatga ko’chib, tezligi 
1

 bo’lsin. 
Nuqtaning tezlanish vektorini aniqlaymiz. 
t
Lim
a
1
0
t







   
 
 
 
 
(4.21) 
(4.21) ni 

M
 va 
Mn
 tabiiy o’qlarga proekstiyalaymiz. 
t
a
t
a
n
n
t
n
t

















1
0
1
0
lim
lim
 
 
 
(4.22) 
M1  nuqtadan  M

  ga  parallel  qilib  chiziq  o’tkazamiz 
1

  tezlik  vektori  bilan 
ab
orasidagi burchakni 

 bilan belgilaymiz. 

1

 = 

1

cos

; 

1n=

1

sin

; 


=

; 

n=0 ga teng. 
Bu erda 

 va 

1 M nuqtaning t va t+

t paytdagi tezliklarining miqdorlaridir. 
Olingan proekstiyalarni yuqoridagi tengliklarga keltirib qo’yamiz. 




1


1

a
b
1
M
M

n
A 
B 

 
39 
 
;
cos
lim
1
0












t
a
t




;
sin
lim
1
0











t
a
t



 
 
 (4.23) 
kelib chiqadi. Bunda 
0


t
 da M1

M, 

S

0, 

1


, 

0 ga intiladi. 
Natijada M1 nuqta M ga yaqinlashganda 
1
cos
lim
0





f
 bo’ladi, bu holda 
dt
d
t
lim
a
1
0
t










   
 
 
 
 
 
 
bo’ladi. Demak, 
t
d
d
a



 
 
 
 
 
 
 
(4.24) 
bo’lib, urinma tezlanishi deyiladi. 
Urinmalarning  orasidagi  burchakni 

  bilan  va  MM1=

S  bilan  belgilaymiz 
S



  nisbatga  egri  chiziqning  (traektoriyaning)    o’rtacha  egriligi  deyiladi.  Buning 

S

0 dagi limiti  
dS
d
S
k
t








0
lim
 
 
 
 
 
(4.25) 
ga egri chiziqning M nuqtasidagi egriligi deyiladi. Egrilikning teskari qiymatiga egri 
chiziq (traektoriya)ning kuzatilgan 
M
 nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va uni  


d
dS
k


1
 
deb  belgilaymiz.  Endi  an  ni  topamiz.  Buning  uchun  (4.25)  ni  o’ng  tomoni  surat  va 
maxrajini 

S ga ko’paytiramiz 

















t
S
S
a
t
n




sin
lim
1
0
    
 
(4.26) 
t

  nolga  intilganda  qavs  ichidagi  har  bir  ko’paytmaning  limiti  quyidagicha 
hisoblanadi 
1
sin
lim
0







t
 








dt
ds
t
S
lim
a
0
t
n
; 

1 esa 

 ga intiladi. 



1
lim
0







k
dS
d
S
s
 
Shunday qilib, urinma tezlanishining moduli  
2
2
dt
S
d
a
ёки
dt
d
a





 
 
 
 
 
(4.27)  
(4.27) formuladan normal tezlanishining moduli   


2
n
a

 
 
 
 
 
 
(4.28) 
formuladan topiladi. 
Egri  chiziqli  harakatdagi  nuqtaning  urinma  tezlanishining  moduli  tezlik 
modulidan  vaqt  bo’yicha  olingan  birinchi  tartibli  hosilaga  yoki  nuqtaning  yoy 
koordinatasidan  vaqt  bo’yicha  olingan  ikkinchi  tartibli  hosilaga  teng  bo’ladi. 

 
40 
Hosilaning  ishorasi  urinma  tezlanishining  traektoriyaning  qaysi  tomoniga 
yo’nalishini  ko’rsatadi.  Masalan:  agar 
0
dt
d


  bo’lsa, 

a
  nuqtaning  tezligi  bilan  bir 
yo’nalishda bo’ladi. Bu holda harakat tezlanuvchan egri chiziqli harakat bo’ladi. Agar 
0
dt
d


  bo’lsa, 

a
  nuqta  tezligiga  teskari  yo’naladi.  Harakat  sekinlanuvchan  egri 
chiziqli harakat bo’ladi.  
Normal  tezlanishning  moduli  harakati  tekshirilayotgan  nuqta  tezligi 
kvadratining, egri chiziqning shu nuqtadagi 

 egrilik radiusiga nisbatiga teng- 


2
 
 
54-shakl. 
Hamma  vaqt  musbat  miqdor  bo’lgani  uchun  normal  tezlanish  hamma  vaqt 
kuzatilayotgan  nuqtadan  traektoriyaning  bosh  normali  bo’ylab  botiq  tomoniga 
yo’naladi.  Agar  urinmaning  birlik  vektorini 

,  bosh  normalini  n  bilan  belgilasak, 
urinma va normal tezlanishlarning vektorli ifodasi 
n
a
dt
d
a
n





2


 
ko’rinishda yoziladi. To’la tezlanishning vektor ifodasi 
n
dt
d
a
a
a
n





2




 
bo’ladi. 
Bu  ikki 

a
  bilan 
n
a
  o’zaro  tik  yo’nalganidan  to’la  tezlanishning  moduli 
quyidagi formuladan topiladi. 
2
2
2
2
n
2
dt
d
a
a
a




















 
Yo’nalishi 
n
a
a
tg



 formuladan topiladi (54-shakl). 
Nuqtaning  harakat  tenglamasi  tabiiy  usulda  berilsa,  uning  tezlanishi  vektori 
urinma va normal tezlanish vektorlarining geometrik yig’indisiga teng. 
TAKRORLASh UChUN SAVOLLAR