Параболик типдаги тенгламалар

www.arxiv.uz

Параболик типдаги тенгламалар

Режа:

1. 
   параболик типдаги тенгламалар
   
2. 
   Параболик типдаги тенгламаларни ечишнинг тур усули
   
3. 
   Ошкор ва ошкормас схемалар
   

Агар текширилаётган жараёнда вакт буйича харакат узгармас булса, бундай жараёнларнинг математик модели параболик типдаги тенгламалар оркали ифодаланади. Бундай жараёнларга кувурлардаги ковушкок суюкликларнинг ностационар харакати жараёнлари, говак тусикларнинг иссиклик утказувчанлик масалалари, диффузия жараёнли ва бошкалар киради.
Параболик типдаги тенгламаларни хусусий холда куйидагича ёзиш мумкин.
(1)
бу ерда изланаётган функция, масаланинг физик мохиятидан келиб чикиб танланувчи манба функция, узгармас коэффициент.
Демак, юкоридаги барча жараёнларда вакт буйича харакат тезлиги узгармас булиб, тезланиш 0 га тенг. (1) тенгламани
(2)
бошлангич шартларни ва ораликнинг четларида
ва (3)
чегаравий шартларни каноатлантирувчи ечимини топиш керак. Берилган чегаравий шартлар, биз юкорида келтирган чегаравий шарт турларига кура, Дирихле масаласига мос келади. Худди гиперболик типдаги каби, параболик типдаги тенгламаларни хам тур усулида ечиш мумкин. Бунинг учун, дастлаб, ва уклар буйича тур киритамиз.

бу ерда- ораликни булишлар сони;
нинг узгариш кадами;
каралаётган вакт оралиги;
вакт булаклари сони;
вакт буйича узгариш кадами.
Тур сохасидаги хар бир нукта (1) тенгламани каноатлантиргани учун уни куйидаги куринишда ёзиб оламиз.

(4) тенгламадаги ва хусусий хосилалар урнига (кулайлик учун деб белгилаб оламиз) чекли айирмали формулаларни куйиб, куйидаги интеграллаш сохасининг тугун нукталарида ёзилган

тенгламани хосил киламиз. Уни га нисбатан ечиб,
(5)
ишчи формулани хосил киламиз.
(5) формуладан куриниб турибдики, хар бир катламдаги ечимлар катламлар оркали топилади ва демак, у ошкор схемали алмаштириш хисобланади. Маълумки, бундай схемали алмаштиришлар натижасида барча олдинги катламларда йул куйилган хатоликлар йигиндиси хосил булади. Бунинг натижасида, вакт факторини ошиб бориши билан олинаётган такрибий ечимларнинг ишончлилик даражаси кескин камайиб боради. Шунинг учун топиладиган ечимнинг аниклилигини ошириш максадида ошкормас чекли айирмали схемаларни ишлатиш максадга мувофикдир. Шунинг учун (4) формуладаги хусусий хосила урнига чекли айирмали формулани куйиб, тенгламани хосил киламиз.
Керакли алмаштиришлар бажарсак, у куйидаги куринишга келади:
(6)
(6) тенгламада

белгилашлар киритиб,
(7)
тенгламалар системасини хосил киламиз.
Хосил булган (7)-тенгламалар системаси нинг хар бир кийматида та тенглама ва та номаълумлардан иборат. Етишмаётган 2 та тенгламани чегаравий шартлардан оламиз. Натижада та номаълумли та тенгламадан иборат уч диогоналли тенгламалар системаси хосил булади. Бундай системани “хайдаш” усули билан ечиш максадга мувофик булиб, бу жараён гиперболик тенгламалар учун тула курсатилди. Юкоридаги (7) системани шу тарзда ечиб, барча кидирилаётган ечимлар аникланади.

Фойдаланилган адабиётлар руйхати:

1. 
   Н. С. Бахвалов и др. «Численнуе методу». М.Наука 1987
   
2. 
   В. П. Демидович и др. «Основу вучислительной математики» М.Наука 1987
   
3. 
   Березин И. С. и др. «Методу вучислений» М.Наука 1996
   
4. 
   Бойзоков А, каюмов Ш, «Хисоблаш математикаси асослари», Укув кулланма. Тошкент 2000.
   
5. 
   Исроилов М. «Хисоблаш усуллари» Тошкент. Узбекистон. 2003.
   
6. 
   Б.Х. Хужаёров «курилиш масалаларини сонли ечиш усуллари»
   

Тошкент 1995.

7. 
   Сиддиков А. «Сонли усуллар ва программалаштириш» Укув кулланма. Тошкент 2001.
   

Интернет сахифалари

8. 
   www.exponenta.ru
   
9. 
   www.techno.edu.ru
   
10. 
    www.toehelp.ru
    
11. 
    www.math.msu.su
    
12. 
    www.colibri.ru
    
13. 
    www.books.atrunet.ru
    
14. 
    www.ziyonet.uz