Параболик типдаги тенгламалар

Koshi masalasi yechimining yagonaligi.
Koshi masalasi echimining yagonaligini isbotlash uchun avval Koshi masalasiga ekvivalent bulgan dagi (19) Voltera integral tenglamalar sistemasining echimlarining yagonaligini kursatamiz.
Buning uchun teskarisini faraz kilamiz, ya’ni (19) sistema echimlari yagona bulmasin funktsiyalar va funktsiyalar (19) sistemaning echimlari bulsin.

U xolda funktsiyalar kuyidagi integral tenglamalar sistemasini kanoatlantiradi.

dagi (24) baxolashlarga asosan

baxolashlar xam urinli (3.2) sistemaga ketma-ket yakinlashish usulini kullaymiz. Bu uchun nolinchi yakinlashtirishni

yakinlashlarni kuyidagicha olamiz:

-funktsiyalar (3.2) sistemaning echimlari bulgan uchun

dagi Lemmadagi baxolashlarni
funktsiyalar uchun xosil kilish mumkin.

Bu erda

U xolda chunki
xuddi shunday

bu erda farazimining notugri ekanligi kelib chikadi. Demak, integral tenglamalar sistemasi echimi yagona ekan.
Endi koshi masalasi echimining yagona ekanligini isbotlash kiyin emas. Faraz kilaylik, koshi masalasi echimi yagona emas. echimlar Koshi masalasi echimi bulsin.
U xolda kuyidagi integral tenglamalar sistemalariga kelamiz:






Biz yukorida integral tenglamalar sistemasi echimining yagonaligini isbotlagandek. Demak, (3.5),(3.6) integral tenglamalar sistemalari bitta integral tenglamalar sistemasining ikki kurinishida yozilishi ekan. Bu erda esa ekanlgi kelib chikadi va koshi masalasining yagonaligi isbot buladi.
(3.5) dan ekanligini xisobga olib da limitga utib ekanligini ishonch xosil kilish kiyin emas.
Demak, ekan. Shunday kilib, (19) integral tenglamalar sistemasi echimlari yagona ekan. Bu erdan esa Koshi masalasining echimi yagona ekanligi bevosita kelib chikadi.

Koshi formulasi , Koshi integrali.

Kompleks uzgaruvchili f (z) funktsiyadan olingan integral nafakat f(z) funktsiyaga , balki integrallash yuliga xam boglikligini kurib utdik. Unda z₀ va z₁ nuktalarga G ₁ va G₂ yullar bilan keladigan bulsak, va larning kiymati xam xar xil bular edi. Shunday bir kizik savol tugiladi. f(z) funktsiya kanday bulganda funktsiyaning kiymati G ga boglik bulmay fakat z₀ va z₁ nuktalarga boglik buladi ?

Bu savolga javob berish uchun xakikiy uzgaruvchili funktsiyalar uchun egri chizikli integralning integrallash yuliga boglik bulmaslik sharti – «berilgan integral ixtiyoriy yopik kontur buyicha integrallanganda kiymati nolga teng bulishi kerak» ni eslash kifoya.
Biz bilamizki kompleks uzgaruvchili funktsiyadan olingan integral ikkita xakikiy uzgaruvchili funktsiyalardan olingan egri chizikli integral bilan ifodalanadi.
Bir boglamli G soxaning xar bir nuktasida uzluksiz xosilaga ega bulgan
f(z) q i(x ; u)Qiv (x ;u) funktsiya shu soxada analitik buladi. Demak, i(x ; u) va
v (x ;u) funktsiyalar uzlarining xususiy xosilalari bilan G soxada uzluksiz buladi va
(S.R)
shartlarini kanoatlantiradi. G soxada tula yotuvchi yopik G konturni olamiz.

U xolda xakikiy uzgaruvchili funktsiyalar uchun Ostrogradskiy – Grin formulasi (yoki Grin)
ni ishlatamiz.
U xolda

1. 
   
   

q

2. 
   
   

Demak,
Biz, bu bilan shunday teoremani isbot kildik :