Параболик типдаги тенгламалар

ASOSIY QISM

Parabolik tipdagi tenglamalar
Agar tekshirilayotgan jarayonda vakt buyicha xarakat uzgarmas bulsa, bunday jarayonlarning matematik modeli parabolik tipdagi tenglamalar orkali ifodalanadi. Bunday jarayonlarga kuvurlardagi kovushkok suyukliklarning nostatsionar xarakati jarayonlari, govak tusiklarning issiklik utkazuvchanlik masalalari, diffuziya jarayonli va boshkalar kiradi.
Parabolik tipdagi tenglamalarni xususiy xolda kuyidagicha yozish mumkin.
(1)
bu erda izlanayotgan funktsiya, masalaning fizik moxiyatidan kelib chikib tanlanuvchi manba funktsiya, uzgarmas koeffitsient.
Demak, yukoridagi barcha jarayonlarda vakt buyicha xarakat tezligi uzgarmas bulib, tezlanish 0 ga teng. (1) tenglamani
(2)
boshlangich shartlarni va oralikning chetlarida
va (3)
chegaraviy shartlarni kanoatlantiruvchi echimini topish kerak. Berilgan chegaraviy shartlar, biz yukorida keltirgan chegaraviy shart turlariga kura, Dirixle masalasiga mos keladi. Xuddi giperbolik tipdagi kabi, parabolik tipdagi tenglamalarni xam tur usulida echish mumkin. Buning uchun, dastlab, va uklar buyicha tur kiritamiz.

bu erda- oralikni bulishlar soni;
ning uzgarish kadami;
karalayotgan vakt oraligi;
vakt bulaklari soni;
vakt buyicha uzgarish kadami.
Tur soxasidagi xar bir nukta (1) tenglamani kanoatlantirgani uchun uni kuyidagi kurinishda yozib olamiz.

(4) tenglamadagi va xususiy xosilalar urniga (kulaylik uchun deb belgilab olamiz) chekli ayirmali formulalarni kuyib, kuyidagi integrallash soxasining tugun nuktalarida yozilgan

tenglamani xosil kilamiz. Uni ga nisbatan echib,
(5)
ishchi formulani xosil kilamiz.
(5) formuladan kurinib turibdiki, xar bir katlamdagi echimlar katlamlar orkali topiladi va demak, u oshkor sxemali almashtirish xisoblanadi. Ma’lumki, bunday sxemali almashtirishlar natijasida barcha oldingi katlamlarda yul kuyilgan xatoliklar yigindisi xosil buladi. Buning natijasida, vakt faktorini oshib borishi bilan olinayotgan takribiy echimlarning ishonchlilik darajasi keskin kamayib boradi. Shuning uchun topiladigan echimning anikliligini oshirish maksadida oshkormas chekli ayirmali sxemalarni ishlatish maksadga muvofikdir. Shuning uchun (4) formuladagi xususiy xosila urniga chekli ayirmali formulani kuyib, tenglamani xosil kilamiz.
Kerakli almashtirishlar bajarsak, u kuyidagi kurinishga keladi:
(6)
(6) tenglamada

belgilashlar kiritib,
(7)
tenglamalar sistemasini xosil kilamiz.
Xosil bulgan (7)-tenglamalar sistemasi ning xar bir kiymatida ta tenglama va ta noma’lumlardan iborat. Etishmayotgan 2 ta tenglamani chegaraviy shartlardan olamiz. Natijada ta noma’lumli ta tenglamadan iborat uch diogonalli tenglamalar sistemasi xosil buladi. Bunday sistemani “xaydash” usuli bilan echish maksadga muvofik bulib, bu jarayon giperbolik tenglamalar uchun tula kursatildi. Yukoridagi (7) sistemani shu tarzda echib, barcha kidirilayotgan echimlar aniklanadi.