Reja : Funksiya yaqinlashtirish masalasining qo’yilishi Interpolyatsiyalash xatoligi

Reja :
1. Funksiya yaqinlashtirish masalasining qo’yilishi

2. Interpolyatsiyalash xatoligi

3. Nyuton interpolyatsion ho’phadi


Funksiya yaqinlashtirish masalasining qo’yilishi
oraliqda turli n+1 ta berilga bo’lsin.Darajasi nga teng shunday
(1)
Algebrik ko’pxad qurilsinki, u
(2)
shartlami qanoatlantirsin. (1) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining determinanti Vandermond determinantidir, u noldan farqli, chunki lar turli. Demak, (1) ko‘phadning koeffitsiyentlari (2) dan bir qiymatli ko‘rinishda topiladi.
(3)
Shartlarni qanoatlantiradigan ko’phad funksiyaning tugun nuqtalar yordamida qurilgan interpolyatsion ko ‘phad deyiladi. Bu interpolyatsion ko‘phadning ko‘proq ishlatiladigan ko'rinishi - Lagranj formulasini keltiramiz. Uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(4)
(3) ga asosan

bo’ladi
Bu munosabatlar o‘rinli bo‘lishi uchun funksiyalar quyidagi shartlami bajarishi kerak:

Bulardan ko‘rinib turibdiki, har bir da n tadan kam emas nolga ega bo‘ladi. Biroq darajasi n ga teng bo‘lgan algebrik ko ‘phad bo‘lganligi uchun ning darajasini n ga teng ko‘phad ko‘rinishida izlash maqsadga muvofiqdir. Uni quyidagicha yozamiz:

shartdan

ke;ib chiqadi. Agar
deb olsak , bo’ladi va (4)ko’pxad
(5)
ko‘rinishga ega bo‘ladi va uni Lagranj interpolyatsion ko'phadi deyiladi. (5) dagi ko'phad interpolyatsiyalashning fundamental ko’phadlari deyiladi, ba'zan uni nuqtaning ta'sir etuvchi ko‘phadi deb ham aytiladi.
Interpolyatsiyalash xatoligi
Biz fiinksiyani interpolyatsion ko‘phadga almashtirganimizda

xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. ga tegishli ixtiyoriy x nuqtadagi ilbdasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:
(1)
Bu yerda K-o’zgarmas va
(2)
(1)dagi o’zgarmas Kni shardan topamiz :
(3)
funksiya da n+1 marta uzluksiz differensillanuvchi bo’lsin
deymiz . funksiya da n+2 ta nuqtada nolga teng, ular . ROLL teoremasiga asosan , ga tegishli n+1ta , n ta nolga ega bo’ladi va hokazo. da kamida botta nolga ega bo’ladi, yani .(1)dan n+1 marta hosila olib,z= desak,quyidagi ega bo’lamiz:
(4)
(3)va (4)dan
(5)
Kelib chiqadi.Bundan
(6)
Bahoga ega bo’lamiz ,bu yerda .