Reja : Funksiya yaqinlashtirish masalasining qo’yilishi Interpolyatsiyalash xatoligi

Nyuton interpolyatsion ho’phadi
Bizga da aniqlangan f(x) fimksiyaning ga tegishli turli nuqtalarda qiymatlari m a’lum bo‘lsin.
Quyidagicha aniqlangan

Miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi. Ular yordamida aniqlangan

Miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalarning nisbati deyiladi.
Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi,masalan k-tartibli
va ayirmalar nisbati ma’lum bo’lsa ,(k+1)-tartibli ayirmalar nisbati

Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega. 1- xossa. Algebraik yig'indidan olingan ayirmalar nisbati qo‘shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig‘indisiga teng. 2- xossa. 0 ‘zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. 3- xossa. Ayirmalar nisbati o‘z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir.
4- xossa. m-darajali algebraik ko‘phaddan olingan k-tartibli ayirmalar nisbati, agar k>m bo‘lsa nolga, k = m da o'zgarmasga va k< m bo‘lsa argumentlariga nisbatan ( m- k )-darajali simmetrik bir jinsli ko‘phadga teng.
Interpolyatsion ko‘phad ning boshqa formasini chiqaramiz. Biming uchun Lagranj interpolyatsion ko‘phadi dan nuqtani ishtirok ettirib, birinchi tartibli ayirmalar nisbatini olamiz.

Algebraik interpolyatsiyalash masalasining qo‘yilishi va yechimning yagonaligini tushuntiring.

Faraz qilaylik, bo’lsin . da interpolyatsiyalash tugun nuqtalari lar qanday tanlansa, funksiyani interpolyatsiyalashdagi maksimal xatolik eng kichik qiymatga ega bo‘ladi, degan savol chiqishi tabiiydir. Bu masala ancha murakkabdir va uni faqat xususiy holdagi lar uchungina yechish mumkin. Biz ancha sodda masalani yechishni ko‘ramiz, ya’ni tugun nuqtalar da qanday joylashganda miqdor eng kichik bo‘ladi, degan savolga javob beramiz. Agar eng kichik qiymatga erishsa, interpolyatsiya xatoligi ham minimal qiymatga ega bo‘ladi. Soddalik uchun oraliq [-1,1] bo‘lsin. Bizga Chebishev ko‘phadlari kerak bo‘ladi. Bu ko‘phadlar [-1,1] oraliqda , (1) n = 0,1,... formula bilan aniqlanadi. Xususan, n = 0, 1 da

, (2)
(3)
ga ega bo‘lamiz. Chebishev ko‘phadlari uchun
(4)
rekurrent munosabat o‘rinli, bu quyidagi

ayniyatdan desak kelib chiqadi.
Chebishev ko‘phadining xossalari.
1-xossa. Jufl (toq) n uchun da ning faqat fuft (toq) darajalari qatnashadi. Bu (2)-(4) formulalardan chiqariladi.
2-xossa ) ning bosh koeffitsiyent da ga teng.
Bu ham (2)-(4) formulalardan chiqariladi.
3- xossa (-1,1) intervalda turli n ta haqiqiy ildizlarga ega, ular quyidagilar:
, .
Haqiqatdan, =0, .
4-xossa. bo’lib,
(5)
Bu yerda .
Haqiqatdan, (l)ga ko‘ra , .Demak 4-xossa o ‘rinli.
5-xossa.
(6)
ko‘phad, bosh koeffitsiyenti birga teng bo’lgan n-darajali ko‘phadlar ichida da moduhning maksimumi eng kichik bo’lgan yagona ko‘phaddir.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni ko‘phad mavjud bo’lib, u
(7)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda (6) ga asosan, ning bosh koefitsiyenti birga teng bo’lib, - darajasi n-1 ga teng ko’phaddir.(7 ) asosan , .bundan tashqari,(5)-(7) formulaga asosan, n+1 ta .
Nuqtalarda noldan farqli va almashnuvchi ishorali qiymatlar qabul qiladi. Bu esa,o’z navbatida darajasi n dan kichik ko’phad kami deganda nta nuqtada nolga teng bo’lishligini anglatadi. Bu ziddiyat 5-xossani isbot etadi.
5-xossaga asosan Chebishevning ko’phadlari noldan eng kam og’uvchi ko;phad deyiladi.
oraliqda interpolyatsiyalashning tugun nuqtalar sifatida ko‘phadning ildizlari
(8)
lami olayik. Unda interpolyatsiyalash qoldiq hadida ishtirok etuvchi bosh koeffitsiyenti birga teng bo’lgan n+1-darajali ko’pxad quydagicha bo’ladi:

U holda 4-xossaga asosan interpolyatsiyalashning qoldiq had bahosi (9)
ko'rinishga ega bo’ladi, bu yerda
5-xossaga asosan, (9) bahoni bundan yaxshilab bo‘lmaydi. Interpolyatsiyalashning tugun nuqtalari (8) ko ‘rinishda bo‘lganda (9)ni o‘ng tomonini kichraytirish mumkin bo‘lmagani uchun (8) nuqtalar oraliq uchun optimal tugun nuqtalar bo‘ladi.
Agar ixtiyoriy oraliquchuninterpolyatsiyalashko‘rilganda
, almashtirish yordamida oraliq ga o’tadi ,bu holda ning ildizlari

ko‘rinishda bo‘ladi. Demak

ga teng, interpolyatsiyalashning xatoligi bahosi esa quyidagicha boiadi: