Pedagogical sciences and teaching methods / 021 – part

ajoyib limit

lim (1 +
𝑛→∞
1 _𝑛
𝑛)
= 𝑒

1. 
   Quyudagi limitni hisoblang
   

lim (1 +
𝑛→∞
2 _𝑛
𝑛)

₁ 𝑛2 ₂
lim_𝑛→∞(1 + _𝑛) ² =𝑒
2
Endi yuqoridagi ajoyib limitlardan foydalanib bir nechta foydali limitlarni keltirib
chiqaramiz

1. 
   lim
   

𝑥→∞
(1 + ¹)^𝑥 = 𝑒

𝑥

Isbot: Faraz qilaylik 𝑥 > 1 bo’lsin, x ning butun qismini n deb belgilasak , u holda

𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1 bo’lib bundan esa ¹
_< 1 _≤ 1
tengsizlilarga ega bo’lamiz. Bu

𝑛+1 𝑥 𝑛
tengsizliklardan
(1 + ¹ )^𝑛 < (1 + ¹)^𝑥 < (1 + ¹)^𝑛+1 (1)
𝑛+1 𝑥 𝑛
tengsizliklar kelib chiqadi.

lim

𝑛→∞
(1 + ¹

𝑛+1
)^𝑛 = 𝑒 va lim_𝑛→∞
(1 + ¹)^𝑛+1 = 𝑒
𝑛

Hamda (1) tengsizliklardan chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar hossalalaridan foydalanamiz ya’ni

1° 0 < ^|𝑥 − 𝑎^| < 𝛿 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
ƒ₁(𝑥) ≤ ƒ(𝑥) ≤ ƒ₂(𝑥)
Tengsizliklar o’rinli bo’lib,
lim_𝑥→𝑎 ƒ₁ ⁽𝑥⁾ = lim_𝑥→𝑎 ƒ₂ ⁽𝑥⁾ = 𝑏
bo’lsa u holda lim_𝑥→𝑎 ƒ(𝑥) –mavjud u ham esa b ga teng. Ko’ra

tenglikga ega bo’lamiz.
lim (1 +
𝑥→∞
1 _𝑥
𝑥)
= 𝑒

Endi 𝑥 < −1 dan bo’lsin, 𝑥 = −𝑦 belgilash kiritsak, u holda :

lim
(1 + ¹)^𝑥 = lim

(1 − ¹)−𝑦 = lim

₍ 𝑦
)^𝑦 = lim
(1 + ¹
)^𝑦 =

𝑥→−∞ _𝑥
𝑦→∞ _𝑦
𝑦→∞

𝑦−1
𝑦→∞

𝑦−1

lim
(1 + ¹
𝑦−1
) · lim
(1 + ¹
) = 𝑒 · 1 = 𝑒

𝑦→∞
demak

𝑦−1
𝑦→∞

𝑦−1
lim (1 +
𝑥→∞

1 _𝑥

_𝑥)
= 𝑒

tengligi isbotlandi.
Endi keying turdagi ajoyib limitlarga o’tamiz.
1
2) lim_𝑥→0(1 + 𝑥)^𝑥 = 𝑒
agar biz ¹ = 𝑦 deb belgilasak ( 𝑥 → 0 da 𝑦 → ∞ )
𝑥

1
lim(1 + 𝑥)^𝑥 = lim (1 +
1_)𝑦

𝑥→0
^𝑦→∞ 𝑦

bo’lib, bu 2-ajoyib limitga ko’ra 𝑒 ga tengdir. Tenglik isbotlandi. 1.Quyudagi limitlarni hisoblang
−1
lim(1 + 𝑥) ^𝑥
𝑥→0
⁻¹ 1 1 1
lim(1 + 𝑥) ^𝑥 = lim ₁ = ₁ =

𝑥→0

3. 
   lim
   

𝑥→
^𝑥→0 (1 + 𝑥)^𝑥 log_𝑎(1+𝑥) _{= 1}

𝑥
lim(1 + 𝑥)^{𝑥 𝑒}
𝑥→0

Birinchi limit ostidagi ifodani quyudagicha yozib olamiz
log_𝑎(1 + 𝑥) log_𝑎(1 + 𝑥) 1 ¹

_𝑥 =
log_{𝑎
𝑎𝑥} =
_𝑥 log_𝑎⁽1 + 𝑥⁾ = log_𝑎(1 + 𝑥)^𝑥

∎ lim_𝑥→𝑡 ƒ(𝜑⁽𝑡⁾) = ƒ(𝑥) shu funksiya 𝑡 nuqtada limiti mavjud va 𝑥 nuqtada uzluksiz bo’lsa uni quyudagicha yozishimiz mumkin
lim_𝑥→𝑡 ƒ(𝜑⁽𝑡⁾) = ƒ(lim_𝑥→𝑡 𝜑(𝑡)) (2)
Logarifmik funksiya uzluksiz bo’lganligi sababli (2) formulaga binoan
1 1
lim_𝑥→0 log_𝑎(1 + 𝑥)^𝑥 = log_𝑎(lim_𝑥→0(1 + 𝑥)^𝑥)

1

lim_𝑥→0(1 + 𝑥)^𝑥 = 𝑒

lim

𝑥→0
log_𝑎(1+𝑥) _{= log 𝑒}

𝑎
𝑥

1. 
   Quyudagi limitni hisoblang
   

1
_lim log₂(1 + 𝑥)^2
𝑥→0 𝑥
1

_lim log₂(1 + 𝑥)² ₌ 1 _lim log₂(1 + 𝑥) ₌
1
log₂ 𝑒

^𝑥→0 𝑥 2 ^𝑥→0 𝑥 2

Agar biz bu funksiyadagi 𝑎 ni 𝑒 ga tenglashtirsak keyingi turdagi ajoyib limitni isbot qilgan bo’lamiz.

𝑎 = 𝑒

lim_𝑥→0
ln(1+𝑥) _{= ln 𝑒 = 1}
𝑥

4) lim_𝑥→0
ln(1+𝑥) _{= 1}
𝑥

lim
𝑥→0

lim
𝑥→0

1.Quyudagi limitni hisoblang
ln(1 + sin 𝑥) sin 𝑥
ln(1 + sin 𝑥)
_{sin 𝑥} [𝑥 → 0, sin 𝑥 → 0] = 1

5)lim_𝑥→0
^𝑎𝑥⁻¹ = ln 𝑎 (𝑎 > 0; 𝑎 G 0)
𝑥

Avvalombor 𝑎^𝑥 − 1 = 𝑡 belgilash kiritib 𝑥 ni topamiz
𝑎^𝑥 = 𝑡 + 1
𝑥 = log_𝑎(𝑡 + 1)
Ravshanki 𝑥 → 0 da 𝑡 → 0 kelib chiqadi.

lim
^𝑎𝑥⁻¹ = lim

^𝑡 = lim

1 ₌ 1

𝑡
𝑥→0 _𝑥
^𝑡→0 log_𝑎(1+𝑡)
𝑡→0 log_𝑎(1+𝑡)
𝑡
_lim𝑡→0log_𝑎(1+𝑡)

Bu kasrning maxrajidagi limitni 4) – limitda keltirib chiqargan edik. Demak uni quyudagicha yozishimiz mumkin

1
log (1 + 𝑡) ⁼
1
log
_𝑒 = ln 𝑎

lim ^{𝑎 𝑎}
𝑡→0 ^𝑡

lim_𝑥→0
^𝑎𝑥⁻¹ = ln 𝑎 tenglik isbotlandi.
𝑥

lim
𝑥→0
1.Quyudagi limitni hisoblang
𝑒^𝑥2 − cos 𝑥



_𝑥2

𝑒
lim
_𝑥2
− 1 + 1 − cos 𝑥 𝑒
= lim
_𝑥2
_𝑥 2
_{− 1} + 2 lim (sin ₂)

= ln 𝑒 + 2 = 3

𝑥→0


6) lim
_𝑥2
𝑥→0

(1+𝑥)^𝛼−1 _{= 𝛼}

_𝑥2
𝑥→0
𝑥 (₂)²

𝑥→0 _𝑥
⁽1 + 𝑥^)𝛼 − 1 = 𝑡 deb belgilash kiritib

⁽1 + 𝑥^)𝛼 = 𝑡 + 1
ln(1 + 𝑥)^𝛼 = ln(1 + 𝑡)
_{𝛼 =} ln(1+𝑡)
ln(1+𝑥)
Bo’lib 𝑥 → 0 da 𝑡 → 0 bo’ladi. Endi limit ostidagi funksiyani quyudagicha yozib olamiz.

(1+𝑥)^𝛼−1 ₌
𝑥
𝛼 _·
𝛼
^𝑡 = 𝛼 ·
𝑥
ln⁽1+𝑥⁾ ln⁽1+𝑡⁾
_· 𝑡
𝑥
ln(1+𝑥)

= 𝛼
𝑥 ln(1+𝑡)
𝑡

lim_𝑥→0
(1+𝑥)^𝛼−1



ln(1+𝑥)

𝑡
^{= lim}𝑥→0 ^{𝛼 𝑥 = 𝛼}
_lim𝑥→0ln(1+𝑥)
𝑥 _{= 𝛼}

^𝑥 𝑡→0
ln(1+𝑡)
𝑡
_lim𝑡→0ln(1+𝑡)

Bu kasrning surat va mahrajidagi limitlarni 5-limitda keltirib chiqargandik edik. Demak

lim

𝑥→0
^(1+𝑥)𝛼⁻¹ = 𝛼 ligi kelib chiqadi.

𝑥

1.Quyudagi limitni hisoblang
(1 + 2𝑥)⁵ − 1

lim
𝑥→0

lim
𝑥→0

2𝑥
(1 + 2𝑥)⁵ − 1
_2𝑥 = 5

7)lim_𝑥→0
lim
tan 𝑥 _{= 1}
𝑥
tan 𝑥 _{= lim}

sin 𝑥 _· 1

= lim
sin 𝑥

· lim ¹

𝑥→0 _𝑥
𝑥→0 _𝑥

cos 𝑥
𝑥→0 _{𝑥
𝑥→0} cos 𝑥

lim

𝑥→0
^sin𝑥 = 1 ga tengligini 1)- ajoyib limit boyicha isbot qilgan edik

𝑥

lim
sin 𝑥 _{· lim}

¹ = 1 · ¹ = 1

𝑥→0 _𝑥
Demak
^𝑥→0 cos 𝑥 1

lim
𝑥→0
^tan𝑥 = 1 ligi kelib chiqadi.
𝑥

lim
𝑥→0
1.Quyudagi limitni hisoblang
tan 5𝑥



𝑥

lim
𝑥→0
tan 5𝑥



𝑥
= lim
𝑥→0
5tan 5𝑥
_5𝑥 = 5

8)lim_𝑥→0
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 _{= 1}
𝑥

lim
arctan𝑥 _{= lim}

arctan 𝑥
=[arctan 𝑥 = 𝑡, 𝑥 = tan 𝑡]

𝑥→0 _𝑥
^𝑥→0 sin(arctan 𝑥)
𝑡
lim = 1

lim
𝑥→0

^𝑡→0 sin 𝑡
ga tengligini 1-ajoyib limit bo’yicha isbot qilgandik. 1.Quyudagi ajoyib limitni hisoblang
arctan 𝑥



5𝑥

lim
arctan 𝑥



1
= lim
arctan 𝑥 1
=

𝑥→0
5𝑥
5 ^𝑥→0 𝑥 5

9)lim
𝑎𝑟𝑐𝑠i𝑛 𝑥 _{= 1}

𝑥→0 _𝑥

lim
arcsin 𝑥

= lim

arcsin 𝑥

arcsin 𝑥 = 𝑡

𝑥 = sin 𝑡
𝑥 → 0
𝑡 → 0
^𝑥→0 𝑥
^𝑥→0 sin(arcsin 𝑥)

lim
^𝑡→0 sin 𝑡 ^{= 1}

𝑡
Demak yuqoridagi ajoyib limitimiz 1 ga tengligini isbotladik. 1.Quyudagi limini hisoblang
𝜋
lim arcsin (₂ 𝑥)
^𝑥→0 𝑥
Bu misolni hisoblashda ajoyib limitga keltirib hisoblaymiz
𝜋 𝜋
lim arcsin(₂ 𝑥) = _𝜋 lim arcsin(₂ 𝑥) = _𝜋

^𝑥→0 𝑥
2 ^𝑥→0
𝜋 _{𝑥 2}
2

FOYDLANILGAN ADABIYOTLAR RO'YXATI:

1. 
   Олий математика асослари: Олий укув юртлари талабалари учун дарсликлар/Т.Жураев, А.Саьдуллаев, Е.Худайберганов ва бошка.-Т.: Узбекистон, 1994.-280 б 212-214 бетлар
   
2. 
   Азларов Т., Мансуров Х.
   

Математик анализ:Унверситет ва пед институтлари талабалари учун дарслик: 2 кисмли. 1-к.- кайта ишланган ва тулдирилган 2- нашри.- Т.: Укитувчи, 1994.-416 134- бет.

3. 
   https://uz.m.wikipedia.org/wiki/Limit