Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja

Pontryaginning maksimum prinsipi.
Maksimum prinsipi –optimal boshqarish masalalarida optimallikning asosiy zaruriy sharti hisoblanadi. Bu natija XX asrning 50-yillari ikkinchi yarmida
akademik L.S.Pontryagin boshchiligidagi sovet matematiklari tomonidan olingan.
Quyidagi:

t1
J (u, x)   f0 (x(t),u(t)t)dt  g0 (x , x(t1 ))  inf
0
t0
(16)





g (x(t ))  0,i  k 1,...,s
i 1
u  u(t) V ,
optimal boshqarish masalasini qaraymiz.
0
x(t )  x , g (x(t ))  0, i  1,...,k,
0 i 1
x(t)  f (x(t),u(t),t),t0  t  t1 
(17)
Bu masalada t0,t1 vaqt momentlari boshlang’ich nuqta. (16), (17)
belgilangan (o’zgarmas), masala (14), (15)
x0-berilgan masaladan bo’lgan
G(t)  Rn , S (t ) {x },S (t ) {y  Rn : g ( y)  0,i  1, k, g ( y)  0,i  k 1, S,}
0 0 0 1 1 i i
holda kelib chiqadi.
Faraz qilamizki, f (x, u, t)  ( f1 (x, u, t),...., f n (x, u, t)) vektor - funksiyaning
fi (x, u, t) komponentlari va f0 (x, u, t), g0 (x) funksiyalar x bo’yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin.
Maksimum prinsipini bayon qilish uchun Gamilton-Pontryagin funksiyasi deb ataluvchi,
H (x,u,t, , a0 )  a0 f0 (x,u,t)  1 f1 (x,u,t)  .... n fn (x,u,t) 
0 0
T
 a f (x,u,t)  f (x,u,t)
(18)
funksiyani qaraymiz, bu yerda   ( 1 ,..., n ), a0  const
u=u(t) joyiz boshqaruv, x(t)=x(t,u,x0) unga mos joyiz trayektoriya, [t0,t1]
oraliqda aniqlangan bo’lsin. (u(t),x(t)),(t0≤t≤t1) juftlikka mos ravishda
   (t)  ( 1 (t),...,  n (t)), o’zgaruvchilarga nisbatan
uu (t )

x
n
j 1
 a0 f0 xi (x(t),u(t),t)   j (t) f jxi (x(t),u(t),t),(t0  t  t1 )
1
0
H (x,u,t, (t),a ) x x(t )
1 (t) 
(19)
sistemani qaraymiz. Unga qo’shma sistema deyiladi. (19) qo’shma sistemani vektor shaklda
 (t)  Hx (x(t), u(t), t, (t), a0 ), t0  t  t1
(20)
kabi yozish mumkin, bu yerda H x  (H x1 ,..., H xn )
Agar (6) sistema x,u ga nisbatan chiziqli, ya’ni
x(t)  A(t)x(t)  B(t)u(t)  f (t), (t0  t  t1 )
ko’rinishda bo’lsa, H (x,u,t, , a0 )  a0 f0 (x,u,t)  ( A(t)  B(t)u  f (t)) va (20) qo’shma sistema
 (t)  a0 f0 x (x(t), u(t), t)  A(t) (t), (t0  t  t1 )
kabi bo’ladi, bu yerda ‘- transponirlash belgisi.
(20) qo’shma sistema –chiziqli differensial tenglamalar sistemasidan iborat bo’lib, u  (t 0 )   0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega.
1-teorema. Agar (x(t), u(t)), t0  t  t1 (16)-(17) masalaning yechimi bo’lsa,
shunday a0 , a1 ,..., an sonlar va
 (t)  ( 1 (t),...,  n (t)), t0  t  t1
vektor-funksiya
mavjud bo’ladiki, quyidagilar bajariladi:
1) a  (a0 a1 ,..., an )  0, a0  0,..., ak  0;

•  (t) funksiya - (20) qo’shma sistemaning (x(t),u(t)) ga mos keluvchi yechimidan iborat;
• u(t) optimal boshqarishning barcha t[t0,t1] uzluksizlik nuqtalarida

H (x(t), u, t, (t), a0 ) funksiya u=(u1,…,um) o’zgaruvchi bo’yicha V to’plamda aniq yuqori chegarasiga u=u(t) bo’lganda erishadi, ya’ni

sup H (x(t),u,t, (t),a0 )  H (x(t),u(t),t, (t),a0 ),(t0  t  t1 )
uV
(21)
4)
s
 1 (t1 )   a j g jxi (x(t1 ), i  1,2,...., n
j 0
(22)
a j g j (x(t1 ))  0, j  1,2,..., k
(23)
(22) shartlarga transversallik shartlari deyiladi. (21) maksimum shartlari 1- teoremada markaziy o’rinni egallaydi. Shuning uchun uni va quyida keltiriladigan 2-teoremani maksimum prinsipi deb atash qabul qilingan.
Endi boshlang’ich yoki oxirgi vaqt momentlari belgilangan quyidagi :
t1
J (u, x,t0 ,t1 )   f0 (x(t),u(t)t)dt  g0 (x(t1 ),t0 ,t1 )  inf
t0
(24)







u  u(t) V ,t0  t  t1
optimal boshqarish masalasini qaraymiz.
g (x(t ),t ,t )  0,i  k 1,...,s
x(t)  f (x(t),u(t),t),t0  t  t1
i 1 0 1
0
x(t )  x , g (x(t ),t ,t )  0, i  1,...,k,
0 i 1 0 1
(25)
f  ( f0 f1 ,..., fn ), f0 , g0
Bu yerda funksiyalarni o’z aniqlanish sohalarida
f jx , g jx , g jt , g jt xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz deb faraz qilamiz.
j j 0 1
2-teorema. Agar (x(t), u(t), t0 , t1 ) -(24)(25) masalaning yechimi bo’lsa,
shunday a0 a1 ,..., as sonlar va  (t)  ( 1 (t),...,  n (t)), t0  t  t1 vektor-funksiya mavjud bo’ladiki, ular 1-teoremaning 1)-3) shartlarini va quyidagi transversallik shartlarini qanoatlantiradi:
s
j 0
 (t1 )   a j g jxi (x(t1 ), t0 , t1 )
(26)
s
j 0
0 0 0 0  j jt
uV
(x(t1 ), t0 , t1 )
max H (x(t ), u, t ,
0 i
 (t ), a )   a g
(27)
1 0 1
(agar t0 belgilangan bo’lsa, (27) shart qatnashmaydi );
s
j 0
1 1 1 0  j jt
uV
(x(t ), t , t )
1i
max H (x(t ), u, t , (t ), a )   a g
(28)
(agar t1 belgilangan bo’lsa, (28) shart qatnashmaydi);
a j g j (x(t1 ), t0 , t1 )  0, j  1,2,..., k
(29)
Maksimum prinsipining chegaraviy masalasi..
Maksimum prinsipining chegaraviy masalasi maksimum prinsipidan amaliyotda qanday foydalanish mumkinligini ko’rib o’tamiz.
o’zgaruvchining funksiyasi deb
H (x,u,t, , a0 ) funksiyani u  (u0 u1 ,..., un ),
qaraymiz va har bir belgilangan (x,t, , a0 ) da
H (x,u,t, , a0 )  sup,u V
maksimallashtirish masalasini yechamiz.
u  u(x,t, , a0 ) V
shu masalaning yechimi bo’lsin, ya’ni
(30)
(31)
H (x,u(x,t, , a0 ),t, , a0 )  supH (x,u,t, , a0 )
uV
(32)
i  1,2,...,m}
V  { u  (u1 ,...,u m )  R ,   u   ,
m
i i i
( i , i , -berilgan sonlar) bo’lsa,
0
0
tenglik bajariilsin. Agar optimal boshqarish masalasi yechimga ega bo’lsa, maksimum shartiga ko’ra (31) funksiya aniqlangan bo’ladi. Ko’p hollarda (31) funksiyani oshkor ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. Masalan, agar
m
i
j j
f (x, u, t)  f (x, t)  f (x, t)u , j  1,2,...,n
 j
i1
i
n n
 j j 
j 1
0 i
j 1
0
0
0 0 0
 , a )u
f (x, t)   (x, t,
H (x, u, t, , a )  a f (x, t)  
bo’ladi, bu yerda

i  1,2,...m
n
j j
i
j 1
0
0 0 0
 , a )  a f (x,t)   f 0 (x,t),
 (x,t,
U vaqtda (30) masala yechimi u(x, t, , a0 ) ning koordinatalari
 i i
0
 ,  (x, t, , a )  0, i  1,...,m
i ,i (x,t, , a0 )  0
u  ui (x,t, , a0 ) 
ko’rinishda bo’lishi ravshan. Xususiy
ui  signi (x, t, , a0 ), i  1,2,..., m bo’ladi.
Agar V to’plam
holda, agar i  1, i  1 bo’lsa,






m
 i
m
2
1
i1
2
 ( u )  r
V  u  R :| u |
ko’rinishda bo’lsa, (31) funksiyani oshkor shaklda
r
0
i (x,t, , a0 )
(x,t, , a )
0
u(x,t, , a ) 
kabi yozish mumkin, bu yerda   (1 ,..., n ),
Faraz qilaylik, bizga (31) funksiya ma’lum bo’lsin. U vaqtda x,ψ o’zgaruvchilarga nisbatan quyidagi 2n ta differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz:
1 
x  f (x, u(x, t, , a0 ),t) 
x 0 0 0
  H (x,u(x, t, , a ),t, , a ),t  t  t 
(33)
Differensial tenglamalar kursidan yaxshi sistemasining umumiy yechimi 2n ta
ixtiyoriy parametrlarga
ma’lumki, (33) tenglamalar
(masalan,
x(t0 )  (x1 (t0 ),..., xn (t0 )),  (t0 )  ( 1 (t0 ),...,  n (t0 ))
bo’ladi.
Bundan tashqari, maksimum prinsipidagi
boshlang’ich shartlarga) bog’liq
a0 , a1 ,..., as
parametrlar ham
noma’lum bo’lganligidan,ularni aniqlash uchun yana s+1 ta shart kerak bo’ladi. Shunday qilib, noma’lum 2n+s+1 ta parametrlarni aniqlash uchun 2n+s+1 ta shart zarur. Ularni maksimum prinsipidan, masalan, 1-teoremadagi (22),(23) shartlar hamda
g j (x(t j ))  0, j  k  1,..., s
(34)
shartlarni olamiz. Bu shartlar jami 2n+s ta tenglamalarni beradi. Yetishmayotgan yana bitta tenglamani olish uchun H (x, u, t, , a0 ) funksiyaning  1 , 2 ,..., n , a0
o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli
H (x, u, t, a , aa0 )  aH (x, u, t, , a0 ), a  R
1
(32) shartdan
va bir jinsli ekanligini, ya’ni ekanligini hisobga olamiz. U vaqtda
u(x, t, a , aa0 )  u(x, t, , a0 ), a  0
ekanligi kelib chiqadi. Demak, maksimum prinsipida
(35)
a1 , a2 ,..., as ,  1 ,..., n
o’zgaruvchilar musbat ko’paytuvchi aniqligida topiladi. Demak,
2
2
a 

S
i0
i
a  1
(36)
deb olish mumkin. Agar a0>0 ekanligi ma’lum bo’lsa, (36) shart o’rniga a0=1 deb olish ham mumkin. (22),(23),(34),(36) tenglamalar sistemasini yechganda
a0  0, a1  0,..., ak  0, gi (x(t1 ), t0 ,t1 )  0, i  1,..., k
(37)
shartlarning bajarilishi hisobga olinadi. Shunday qilib, maksimum prinsipi asosida
(32) maksimum shartidan, (33) tenglamalar sistemasi va (22),(23),(34),(36),(37) shartlardan iborat maxsus chegaraviy masalaga ega bo’ldik. Bu masalaga maksimum prinsipining chegaraviy masalasi deyiladi.
Agar x(t) ,  (t), a1 , a2 ,..., as , ,- maksimum prinsipining chegaraviy masalasi yechimidan iborat bo’lsa, ularni (31) ga qo’yib,
u(t)  u(x(t), t, (t), a0 ) t0  t  t1
(38)
funksiyani hosil qilamiz. Agar bu funksiya [t0,t1] oraliqda bo’lakli-uzluksiz bo’lsa, u optimalikka shubhali boshqarish bo’ladi. Agar optimal boshqarish masalasining yechimi mavjud va maksimum prinsipi chegaraviy masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, (38) bo’lakli-uzluksiz funksiya optimal boshqaruvdan iborat bo’ladi.