Практическое занятие 1

arctg x= Аrctg x  n,
где Аrctg x – главное значение, лежащее в диапазоне от -/2 до +/2; n=0,1,2,… С формальной точки зрения все эти значения равноценны. Такая трактовка результата неприемлема при получении ФЧХ, так как последняя должна однозначно характеризовать свойства реального объекта, моделью которого является передаточная функция.
Для устранения неоднозначности и значительного упрощения процедуры получения АЧХ и ФЧХ необходимо использовать следующий способ.
Передаточная функция должна быть представлена в форме дроби вида
, (7.4)
где z_i - вещественные константы или полиномы относительно s первой или второй степени.
При отсутствии комплексных корней относительно s у числителя и знаменателя W(s) они должны быть разложены на сомножители, содержащие s в первой степени. Один из сомножителей в числителе окажется вещественной константой (коэффициент передачи звена k).
Только при наличии комплексных корней относительно s у числителя или знаменателя W(s) сомножитель z_i оставляют в форме полинома второй степени относительно s, соответствующего такой паре корней.
При выполнении указанных требований ЧПФ будет иметь аналогичный вид:
,
где z_i – комплексные функции например z₁=k, z₂= j, z₃=1+ j T.
Теперь выражения для АЧХ и ФЧХ можно получить на основе правил умножения и деления комплексных чисел:
1. Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей.
2. Модуль отношения равен отношению модулей числителя и знаменателя.
3. Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
4. Аргумент отношения равен разности аргументов числителя и знаменателя.
Соответственно для ЧПФ вида (7.4) получим:
,
()=arg z₁+ arg z₂ – arg z₃ – arg z₄.
Подробнее модули и аргументы сомножителей ЧПФ предлагается рассмотреть самостоятельно с использованием предоставленных для выполнения лабораторных работ материалов.
Разложим на сомножители передаточную функцию из примера 1:
,
перейдем к ЧПФ
.
Теперь, учитывая по три сомножителя в числителе и знаменателе ЧПФ и известные выражения для их модулей и аргументов, получим выражения для АЧХ и ФЧХ:
,

Построение примерных графиков выполняется сначала для положительных частот. Для примерных графиков необходимо правильно определить их поведение для и , после чего приближенно спрогнозировать их поведение на промежуточных частотах, прежде всего, установить возможность резонансного пика на АЧХ.
Рассмотрим выражение для АЧХ и получим:
,
.
Если представить квадратный трехчлен в знаменателе передаточной функции в форме
,
получим =0,5, то есть высота резонансного пика не превысит 3 Дб, и его можно не учитывать. Следовательно, можно прогнозировать монотонный характер графика АФХ.
Для построения графика на отрицательных частотах учтем, что АЧХ – четная функция.

Рассмотрим выражение для ФЧХ и получим:
,
.
В зависимости от соотношения постоянных времени рассматриваемого звена можно прогнозировать различные варианты характера графика ФЧХ на промежуточных частотах:
1 – если T₁ значительно превосходит остальные постоянные времени по величине;
2 – если T₁ значительно меньше остальных постоянных времени;
3 – во всех остальных случаях.
Для построения графика на отрицательных частотах учтем, что ФЧХ – нечетная функция.