Практическое занятие 1

Амплитудно-фазовой частотной характеристикой (амплитудно-фазовой характеристикой, АФХ) называется годограф частотной передаточной функции.
Годограф комплексной функции одного вещественного аргумента строится на комплексной плоскости (рисунок 55). Любому значению аргумента на комплексной плоскости соответствует точка. Множество точек, соответствующее плавному изменению аргумента от -  до , образует кривую, которая и называется годографом.

Пусть задана ЧПФ W(j). Для некоторой частоты ₁ (для определенности ₁ > 0) соответствующая точка на комплексной плоскости может быть построена в декартовых координатах на основе представления ЧПФ в алгебраической форме: W(j₁ )=U(₁ )+jV(₁ ), где U(₁) – значение ВЧХ, V(₁) – значение МЧХ на частоте ₁ .
Представление ЧПФ в показательной форме даёт полярные координаты такой точки:
,
где А(_) - значение АЧХ, (_) - значение ФЧХ частоте _.
При плавном изменении частоты от 0 до  множество соответствующих точек образуют кривую, например, как показано на рисунке 55.
Для получения второй половины годографа, соответствующей отрицательным частотам, определим положение изображающей точки для = -_ на основе свойств четности и нечетности частотных характеристик.
ВЧХ является четной функцией, следовательно, при изменении знака аргумента  горизонтальная координата изображающей точки сохраняет свое значение U(-_) = U(_). МЧХ – нечетная функция, следовательно, при изменении знака  изменяется знак вертикальной координаты изображающей точки .
Таким образом, точки годографа, соответствующие частотам _ и -_, симметричны относительно горизонтальной оси. Поскольку значение _ выбиралось произвольным, можно сделать вывод о том, что участки АФХ, соответствующие  > 0 и  < 0, симметричны относительно горизонтальной оси. Участок соответствующий  < 0, принято показывать пунктирной линией (рисунок 55).
Итак, АФХ может быть построена двумя способами: с использованием ВЧХ и МЧХ (декартовых координат) или с использованием АЧХ и ФЧХ (полярных координат). При правильном построении оба способа должны давать одинаковый результат.
Точное построение АФХ требует численного расчета и может быть выполнено с помощью компьютера. Однако для решения практических задач, как правило, можно ограничится приближенным построением АФХ вручную с точным расчетом отдельных точек.
Требования к приближенному построению АФХ:
1. Построение подробно выполняется для . Для отрицательных частот вторая половина АФХ строится с учетом ее симметрии относительно горизонтальной оси. Ее принято изображать пунктирной линией.
2. Должны быть определенны квадранты, в которых проходит АФХ.
3. Должны быть найдены и указаны точки АФХ, соответствующие частотам  = 0 и . При отсутствии таких точек (асимптотический характер кривой) должны быть найдены соответствующие асимптоты и правильно показан вид участков, соответствующих и .
4. Должны быть найдены и указаны частоты, соответствующие точкам пересечения АФХ с осями координат, и координаты таких точек.
5. Направление увеличения частоты указывается на АФХ стрелкой.
Рассмотрим некоторые примеры.
Выполним приближенное построение АФХ интегрирующего звена с замедлением. Его передаточные функции:
; .
Выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:
, .
Их графики показаны на рисунке 56.
По АЧХ и ФЧХ можно установить следующее:
- при  > 0 значения ФЧХ лежат в пределах от до , следовательно, АФХ при  > 0 лежит в третьем квадранте, точек пересечения АФХ с осями координат нет;

- при длина вектора, направленного в точки АФХ, стремится к бесконечности, угол наклона к значению , следовательно, АФХ уходит вниз в бесконечность (при этом степень ее удаления от вертикальной оси установить не удается);
- при A() = 0, () = , следовательно АФХ стремится в начало координат вдоль горизонтальной оси;
- длина вектора направленного в точки АФХ, и угол его наклона изменяются монотонно.
Варианты АФХ, соответствующие полученным результатам (с учетом неопределенности при ), показаны на рисунке 57.

Дополнительную информацию, позволяющую уточнить поведение АФХ на малых частотах, можно получить по ВЧХ и МЧХ. Получим выражения для этих характеристик и построим примерные графики (рисунок 58):
,
, .

По графику и из соответствующего выражения нетрудно установить, что горизонтальная координата точек АФХ при стремится к значению –kT. Следовательно, правильная АФХ для данного примера – кривая 2 на рисунке 57. Причем асимптотой АФХ при и является вертикальная прямая, пересекающая горизонтальную ось в точке с координатой –kT.
Отметим, что попытка выполнить приближенное построение АФХ по ВЧХ и МЧХ также вызовет затруднения: по графикам, показанным на рисунке 58, не удается установить асимптотический характер АФХ при (характеристика приходит в начало координат вдоль горизонтальной оси).
Таким образом, при построении АФХ целесообразно использовать обе пары частотных характеристик: АЧХ и ФЧХ, ВЧХ и МЧХ – для получения полной информации или, по крайней мере, для проверки результата.
Рассмотрим еще один пример – звена с передаточной функцией
; .
Выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:
, .
Их графики показаны на рисунке 59.

По АЧХ и ФЧХ можно установить следующее:
- при  длина вектора, направленного в точки АФХ, равняется k, угол наклона равен нулю; следовательно,  соответствует точка с координатой k на положительной вещественной полуоси (рисунок 60);

- при увеличении частоты длина вектора монотонно уменьшается, при АФХ приходит в начало координат;
- при  > 0 с ее увеличением угол наклона вектора монотонно изменяется от 0 до , следовательно, АФХ последовательно проходит три квадранта в отрицательном направлении и приходит в начало координат вдоль вертикальной оси;
- при >0 АФХ последовательно пересекает вертикальную и горизонтальную оси.
Рассчитаем точки пересечения АФХ с осями координат для  > 0.
Точке пересечения АФХ с вертикальной осью соответствует уравнение:
,
откуда
, ; .
Расстояние от начала координат до рассматриваемой точки равно
.
Точке пересечения АФХ с горизонтальной осью соответствует уравнение:
,
откуда
, ; .
Расстояние от начала координат до рассматриваемой точки равно
.
Теперь воспользуемся второй парой характеристик:

;
, .
Соответствующие графики (рисунок 61) не противоречат законам изменения декартовых координат АФХ на рисунке 60.

Точке пересечения АФХ с вертикальной осью соответствует уравнение:
, ,
откуда .
Вертикальная координата этой точки:
.
Точке пересечения АФХ с горизонтальной осью соответствует уравнение:
,
откуда .
Горизонтальная координата этой точки:
.
Результаты совпадают с полученными выше.