Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Бесконечно малые функции.
Определение. Пусть – точка сгущения для функции . Функция
.
Примеры:

1. 
   
   
2. 
   
   

Свойства бесконечно малых функций.

Пусть бесконечно малые функции при – ограниченная в некоторой окрестности точки , тогда:

1. 
   - бесконечно малая функция при .
   

Можно обобщить на сумму ( или разность) любого конечного числа бесконечно малых функций.


Доказательство.



а.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство

б.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство

в.)
выполняется

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
Пример:
бесконечно малая функция при .

2. 
   - бесконечно малая функция при .
   

Доказательство.



а.) – бесконечно малая функция при .
выполняется неравенство |
б.) – бесконечно малая функция при .
выполняется неравенство
в.)
выполняется

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .

3. 
   - бесконечно малая функция при .
   

Доказательство.

а.) – ограниченная в некоторой окрестности точки .

выполняется неравенство
б.) - бесконечно малая функция при .

выполняется условие

в.)
, выполняется

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
Пример:
– бесконечно малая при .
- ограниченная в некоторой окрестности точки 0.
- бесконечно малая при .