Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Арифметические свойства непрерывных функций.


Теорема. Пусть и - непрерывные в точке , тогда:
1.) непрерывная в точке ;
2.) непрерывная в точке ;
3.) непрерывная в точке , если ;
Проверим (2), используя определение 1.
.


Непрерывность сложной функции.

Пусть - непрерывна в точке ;

непрерывна по в точке ;
тогда сложная функция будет непрерывна в точке
Проверим используя определение 1.

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.


Некоторые примеры разрывных функций.







Скачок ”справа”: ;
;
Скачок ”слева”: ;

Скачок в точке : ;

Для непрерывной функции скачки равны нулю.
Определение. Если в точке пределы слева и справа конечные, но условие непрерывности нарушено, то точка называется точкой разрыва рода, все остальные разрывы рода.


Предел числовой последовательности.


Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.
Пусть дана последовательностью
общий член

1.)
2.)
Определение. Числовая является пределом числовой последовательности , если выполняется неравенство
Предел числовой последовательности является частным случаем предела

д ля
При вычислении предела числовой последовательности можно применять все теоремы о пределах.


Примеры:
1.)Доказать
выполняется неравенство




целая часть числа.