Приближенное вычисление значения функции в заданной точке с заданной точностью при помощи ряда Тейлора

e^x=1+ ^x+ ^x+K + ^x+K, x∈ −∞ ∞( ; ) , 1! 2! n!	(5)
x3 x5 n x2n+1 x∈ −∞ ∞( ; ) , sin x = x − + −K+ −( 1) +K, 3! 5! ( 2n +1 !)	(6)
x2 x4 n x2n x∈ −∞ ∞( ; ) , cos x =1− + −K + −( 1) +K, 2! 4! ( 2n) !	(7)
(1+ x) α =1+ α x + α α −( 1) x2 +K + α α −( 1) K( α − n +1) xn +K, 1! 2! n!	(8)
^2+K K+ x^n+ , x∈ −( 1;1 ,) =1+ x + x 1− x	(9)
x2 x3 −K+ −( 1) n xn+1 +K, x∈ −( 1;1 ,] ln 1( + x) = x − + 3 n +1	(10)
x3 x5 n x2n+1 x∈ [ −1;1 ,] arctg x = x − + −K+ −( 1) K,	(11)

¹ n

3 5 2n +1

1. 
   x3 1 3⋅ x5 1 3 5⋅ ⋅ x7 1 3 5⋅ ⋅ K( 2n −1) x2n+1 K, x∈ [ −1;1 ,]
   

arcsin x = x + ⋅ + ⋅ + ⋅ +K

2. 
   3 2 4⋅ 5 2 4 6⋅ ⋅ 7
   

x3 x5 x2n+1 sh x = x + + +K + +K, x∈ −∞ ∞( ; ) , 3! 5! ( 2n +1 !)	(13)
x2 x4 x6 x2n ch x =1+ + + +K + +K, x∈ −∞ ∞( ; ) ,	(14)

(12)

Пример. Выписать ряд Маклорена функции f ( x) = ln 4( − x) . Решение: Так как

f ( x) = ln 4( − x) = ln4 + ln 1^ + −^ 4^{x }^,

то, воспользовавшись формулой (13.29), в которой заменим x на ^− 4^{x },получим:

ln 4( − x) = ln4 + −^_ 4^{x }_ + ^−2⁴x ^² ^−34x ³ −K,

+

или

1 1 x2 1 xn+1

ln 4( − x) = ln4 − 4 x − 2 ⋅ 2 −K − 4n+1 ⋅ n +1 −K,

4

x

если − < −1 ≤1, т.е. −4 ≤ x < 4. 4

Задачи на вычисление значения функций в окрестности нуля, или иной точки очень важны в математике и без специальных калькуляторов или программ найти их значение трудно. В помощь приходят ряды Тейлора. Функцию раскладывают в ряд, отбирают несколько первых членов, которые вносят наибольший вклад и обеспечивают достаточную точность вычислений. После этого находят значение в заданной точке.
Рассмотрим примеры применений рядов Тейлора к приближенным вычислениям.

--------------------------------------------

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001

1) 
2) (9.331) 
3) (9.333) 
4) (9.333) 

Решение. 1) Запишем заданную функцию в удобном виде

Воспользуемся формулой разложения в ряд Тейлора

и выпишем несколько членов ряда при степенях аргумента

В результате получим значение

Согласно записанной выше формуле, умножаем полученное число на 2

2) 
Воспользуемся разложением синус функции в окрестности нуля

Заданное выражение перепишем в следующей форме

и подставим в формулу

Взяв только два члена ряда получаем достаточно хорошую сходимость. И такая сходимость бывает не всегда. Чем дальше отдаляемся от точки в которой развит ряд, тем больше членов разложения нужно брать для точности результата.

3) 
Выпишем разложение логарифма около единицы

В данном случае подставим  и просуммируем несколько членов ряда

Точный результат равный

Для обеспечения сходимости с точностью 0,0001 нужно брать больше членов ряда

Получили хорошую сходимость, но пришлось брать пять членов разложения в ряд. Это связано с тем что точка в которой искали приближенное значение находится далеко от точки разложения ряда.

4) 
Пусть имеем разложение арксинуса возле нуля

Точное значение будет следующим

Взяв два члена ряда

получим хорошую сходимость.
По аналогии с прведенными примерами поступаем и для ряда других функций.

1^ 2!4! 6! ( 2n) !