Принцип максимума и принцип сравнения для системы двух уравнений

Теорема 7.3. Пусть (u, v) — слабое решение задачи (2.1) с данными Дири- хле. Для двух функций H₁ = uα₁(x, u, v) + v +(2n▲₁)⁻¹w₁ и H₂ = uα₂(x, u, v) + v + (2n▲₂)⁻¹w₂ от (u, v) с w₁ и w₂, являющимися решениями уравнений
−(2n)⁻¹∆_εw₁ = M₁ (7.1)
и
−(2n)⁻¹∆_εw₂ = M₂, (7.2)
где M₁ ≤ −(α₁f₁ + f₂), M₂ ≤ −(α₂f₁ + f₂), справедливы следующие оценки:
^ǁH1ǁL∞^{(X) ≤ ǁH1ǁL}∞^{(∂X), ǁH2ǁL}∞^{(X) ≤ ǁH2ǁL}∞^(∂X).
Эти оценки могут быть разрешены относительно неизвестных u, v и
ǁuǁ_L∞(X) ≤ C, ǁvǁ_L∞(X) ≤ C
с постоянной C, зависящей только от n, L_1,2, 2, |g_1,2|_∞,(X), постоянных ω_1,2, A_1,2, f_1,2 и не зависящей от u и v.
Доказываются эти три теоремы аналогично теоремам 3.1–5.1 с той разни- цей, что в (3.6) и (4.5) мы не будем располагать временным членом, а распола- гаем только слагаемым с градиентами, откуда получим
α₁∇u + ∇v ≡ 0, α₂∇u + ∇v ≡ 0

или


α₁∇u + ∇v + (2n▲₁)⁻¹∇w₁ ≡ 0, α₂∇u + ∇v + (2n▲₂)⁻¹∇w₂ ≡ 0.

∇ ∇
Последние соотношения легко разрешимы относительно градиентов u и v, интегрированием получатся оценки для u и v.

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
   
2. 
   Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: На- ука, 1966.
   
3. 
   Кошелев А. И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986.
   
4. 
   Кошелев А. И., Челкак С. И. Регулярность решений некоторых краевых задач для ква- зилинейных эллиптических и параболических систем. С.-П.: Изд-во СПбГУ, 2000.
   
5. 
   Кошелев А. И. Применение универсального итерационного процесса к некоторым зада- чам механики // Вестн. СПбГУ. Математика, механика, астрономия. 2008. Cер. 1. № 2. С. 47–56.
   
6. 
   Portnyagin D. A generalization of the maximum principle to nonlinear parabolic systems // Ann. Pol. Math. 2003. V. 81, N 3. P. 217–236.
   
7. 
   Папин А. А. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двухфазной фильтра- ции // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 1. С. 114–126.
   

Статья поступила 11 ноября 2010 г.
Портнягин Дмитрий Валерьевич
Институт физики конденсированных систем Национальной академии наук Украины,
ул. Свенцицкого, 1, Львов 79011, Украина
[e-mail]