Проблема свободной границы для модели хищник-жертва Елмуродов А. Н., Норов А. К

Номер страницы

Проблема свободной границы для модели хищник-жертва
Елмуродов А.Н., Норов А.К.


Введение
Сегодня человечество сталкивается со все более серьезными экологическими и эпидемиологическими проблемами, такими как загрязнение окружающей среды, инвазия экзотических видов , появление новых инфекционных заболеваний и возобновление существующих эпидемиологических заболеваний. В последнее время математическое моделирование успешно применяется для изучения многих биомедицинских и эпидемиологических проблем, и во всех этих контекстах наблюдается нелинейная и сложная динамика [1-7]. За последние двадцать лет достигнут значительный прогресс в математическом моделировании биомедицинских процессов, что привело к созданию более сложных моделей, состоящих из систем нелинейных уравнений в частных производных. Динамика населения — одна из наиболее широко обсуждаемых тем в биоматематике. Изучение эволюции различных популяций всегда представляло особый интерес, начиная с популяций одного и того же вида, но постепенно переходя к более реалистичным моделям, в которых разные виды живут и взаимодействуют в одной среде обитания. Среди них мы можем найти модели, изучающие конкурентные отношения, симбиоз, комменсализм или отношения хищник-жертва.
Изучение пространственного и временного поведения хищника и жертвы в экологической системе является важным вопросом популяционной экологии. Для изучения системы хищник-жертва были предложены различные типы математических моделей [10,11]. Эти исследования обеспечивают теоретическую основу для понимания сложной пространственно-временной динамики, наблюдаемой в реальных экологических системах. Такие модели математически интересны, и строгий математический анализ этих моделей, таких как глобальное существование, уникальность и устойчивость решений, привлекает все больше и больше внимания.
В этой статье мы рассмотрим следующую модель:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где , , обозначают плотность населения двух конкурентов, а все параметры являются положительными числами.
С биологической точки зрения модель (1)–(6) описывает, как развиваются два вида, если они изначально занимают ограниченную область . Однородное граничное условие Неймана при указывает, что левая граница фиксирована, а популяция ограничена перемещением только вправо от граничной точки . Мы предполагаем, что оба вида имеют тенденцию к эмиграции, находя правильную границу для получения новой среды обитания: свободная граница представляет собой фронт распространения. Более того, предполагается, что скорость расширения свободной границы пропорциональна нормированному градиенту численности населения на свободной границе. Это известно как условие Стефана.
Относительно проблемных данных предполагается выполнение следующих условий:
i. Параметры , , , , , и ( 1.2) — положительные константы;
ii. удовлетворять следующим условиям:
к
чтобы ,
При , задача (1)-(6) исследовалась в работах [13-15] и доказала дихотомию распространения-исчезания. В [1,16,17] авторы исследовали задачу о свободной границе для реакционно-диффузионной системы с линейным конвекционным членом. Они получили результат дихотомии и представили постоянную асимптотическую скорость распространения расширяющегося фронта.
Остальная часть статьи организована следующим образом. Сначала мы устанавливаем двусторонние оценки для , и , а затем границы нормы Гёльдера для , .