Проблема свободной границы для модели хищник-жертва Елмуродов А. Н., Норов А. К

Априорные оценки и глобальное существование
Сначала установим некоторые априорные оценки для задачи (1)-(6).
Лемма 1. - Пусть – решение задачи (1)-(6) для . Тогда мы имеем следующие оценки
( 7)
( 8)
( 9)
где .
Доказательство: Сначала докажем положительность функции . Возьмем произвольную точку такую, что . В этот момент правая часть (2) должна быть равна нулю. И также в этот момент функция достигает своего минимального значения. Следовательно, согласно обычному для всех принципу максимума и мы приходим к противоречию. Полученное противоречие доказывает, что в .
Аналогично, мы имеем ибо , поскольку лемма Хопфа, то для всех . ибо , поскольку лемма Хопфа, то для всех . Тогда из условия свободной границы в (6) следует, что для .
Из принципа сравнения следует, что

где Решение проблемы

Аналогично, рассматривая следующую задачу начального значения

по принципу сравнения получаем, что

Чтобы получить верхнюю оценку для , с этой целью мы сравниваем , со вспомогательными функциями , определяемыми формулой
(10)
Мы находим это
(11)
Применив еще раз принцип максимума ( 11), получим

Тогда из (10) также следует, что

Поэтому,
или
Тогда мы получаем (9), что завершает доказательство.
Мы установим границы нормы Гельдера и в .
Краевые условия задачи (1)–(6) не позволяют использовать известные результаты работы [8]. Поэтому сначала введем преобразование для выпрямления свободной границы

Для каждого уравнения системы отдельно сформулируем соответствующую задачу: Тогда область соответствует области, а ограниченные функции являются решением задачи
(12)
(13)
где , ,

Условия для неизвестных границ примут вид

Для всех уравнений в задачах (12) и (13) выполняются условие параболичности и условие подчиненности младших членов (см. [8]), что позволяет непосредственно применять результаты работы [8].
Сформулируем теорему для функции .
Аналогичные результаты справедливы и для .
Теорема 2. - Пусть функция , непрерывная по вместе с и удовлетворяет условиям задачи (13). Затем

А если известно также, что функция имеет в Q суммируемые с квадратом обобщенные производные и , то существует такое

Пусть функция , удовлетворяющая уравнению (13) в , непрерывна в месте с производными , , и .
Затем

где , - параболическая граница.
Доказательство проводится аналогично теоремам 3 и 4 в [8].