Programación Avanzada Para Ingenieros Petroleros 2008-1 El problema de los dos tanques


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Programación Avanzada 

Para Ingenieros Petroleros 2008-1 

 

 

El problema de los dos tanques 

 

 



1. Planteamiento del problema 

Dos tanques A y B se encuentran “conectados” de tal forma se tiene un paso de fluidos 

entre el tanque A hacia B por medio de una válvula. Un diagrama de esto se muestra en la 

Figura de abajo. De igual forma se considera que el tanque B cuenta con una válvula 

desde la cual se drena su contenido. 

 

 



 

El tanque A contiene una solución de 100 galones en la que se encuentran disueltas 20 

libras de sal. De igual forma, el tanque B cuenta con una solución de 200 galones en la 

cual se encuentran disueltas 40 libras de sal. Por otra parte, al tanque A se le inyecta agua 

a una razón de 5 galones por segundo y que por la válvula que conecta A con B se 

transfieren 5 galones por segundos de la solución. De igual forma, del tanque B se drena 

a una razón de 5 galones por segundo. ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque B después 

de un minuto de haber abierto las válvulas? 

 

2. Observaciones 

Este es un problema donde se involucra un “balance de masa” debido a que hay una 

solución que sale, otra que entra, y no hay pérdida en la transferencia. El problema se 

enfoca a identificar la cantidad de sal entre los tanques (podemos incluso ir más y hablar 

de la concentración de la solución). Dado que B se encuentra conectado con A

observaremos una dependencia de concentración del segundo con respecto al primer 

tanque. Por otra parte, se considera que al verter las soluciones estas se mezclan 

uniformemente, esto es, un problema soluto-solvente (sal-agua, es este caso), esto no 

siempre es cierto, pero para los fines prácticos que se persigue suficiente. 

 

 



 

 

 



3. Procedimiento 

Plantiemos el problema del balance de la cantidad de sal en cada uno de los tanques en 

función del tiempo y a partir de ahí describamos las ecuaciones que gobiernan este 

sistema de intercambio de fluidos. 

 

4. Datos 

1.

 



El tanque A cuenta con volumen de 100 gal, donde hay 20 lb de sal, esto es en el 

inicio la concentración de sal es de 1/5 lb/gal. 

2.

 

El tanque B cuenta con un volumen de 200 gal, en el que se encuentra disuelta 40 



lb de sal, esto es, el en inicio la concentración es de 1/5 lb/gl 

3.

 



Al tanque A se le inyecta agua, a una razón de 5 gal/s por lo que su concentración 

de sal varía, irá este disminuyendo. 

4.

 

El tanque B recibe la solución del tanque A a razón de 5gal/s y es drenada a razón 



de 5 gal/s; sin embargo, la concentración (cantidad de masa por volumen) B es 

distinta que en A. Cómo se comportará ésta? Es una de las cuestiones que nos 

importará resolver. 

 

5. Notación 

Llamemos 

 a la cantidad de sal (masa) de la solución en el paso del tiempo del 

tanque A. 

)

(t



x

dt

dx

 representa la tasa de cambio de contenido de sal en el tanque A. 

Llamemos

 a la cantidad de sal (masa) de la solución en el paso del tiempo del tanque 

B. 

)

(t



y

dt

dy

 representa la tasa de cambio de contenido de sal en el tanque B. 

Llamemos 

 la concentración de de sal en el tanque A y 

 a la concentración de 

de sal en el tanque B. 

)

(t



C

A

)

(t



C

B

 

 



6. Las ecuaciones del modelo 

La tasa de cambio de la cantidad de sal en los tanques, se rige por la diferencia entre la 

tasa de entrada y la de salida (un balance de masa puro y llano) 

 

salida



de

tasa

entrada

de

tasa

dt

dx

=



 

 

salida



de

tasa

entrada

de

tasa

dt

dy

=



 

 

La tasa de entrada (salida) para el tanque A es 



 

(

)



(

)

tasa de entrada salida



flujo de entrada salida

concentración

=

×



 

 


Para el caso del tanque A, tenemos que se inyecta agua limpia; es decir, no hay 

concentración de sal y esto se hace a una razón de 5 gal/s, por lo que la tasa de entrada se 

observa: 

 

5



/

0

tasa de entrada



gl s

concentración

=

×



 

 

Por otra parte, del problema se tiene que la solución que entra al tanque A es la misma 



que sale, por lo que el volumen permanece constante (a 100 gal), con esto la 

concentración de de sal en el tanque A es 

 

( )


( )

/

100



A

x t

C t

lb gal

=

 



 

Por consiguiente la tasa de salida de la sal del tanque A es 

 

( )


1

5

/



/

/

100



20

x t

tasa de salida

gal s

lb gal

lb s

=

×



=

 

Con esto, tenemos que la cantidad de sal que se encuentra en el tanque A es: 



 

1

20



dx

x

dt

= −


 

 

Esto claramente seála que e va limpiando conforme entra el agua al tanque. 



 

Ahora obtengamos la otra ecuación. La tasa de entrada al tanque B es la tasa de salida del 

tanque A, esto es: 

 

( )



1

5

/



/

( )


/

100


20

x t

tasa de entrada

gal s

lb gal

x t lb s

=

×



=

 

 



Ahora bien, la solución que entra al tanque B lo hace a la misma razón en que sale, con 

esto, no hay cambio en el volumen del tanque por lo que la concentración de sal es de 

 

( )


( )

/

200



B

y t

C t

lb gal

=

 



 

Con esto, tenemos que la tasa de sal que sale del tanque es 

 

( )


1

5

/



/

( )


/

200


20

y t

tasa de salida

gal s

lb gal

y t lb s

=

×



=

 

 



Por lo que la cantidad de tasa de sal dentro del tanque B es de 

 


1

1

20



40

dy

x

y

dt

=



 

 

En el inicio, la cantidad de sal que se encuentra en el tanque B es de 40 libras, por lo que 



(0)


40

y

=

 



Describamos las ecuaciones que gobiernan el modelo 

 

1



20

dx

x

dt

= −


 

        


1

1

20



40

dy

x

y

dt

=



 

 

Sujeto a las condiciones iniciales:  



 

(0)


20

x

=

 



(0)

40

y

=

 

 



7. Solución analítica del modelo 

 

Este sistema de ecuaciones es separable, por lo que resolver de manera independiente. 



Por una parte es relativamente fácil ver que: 

 

/ 20



( )

20

t



x t

e

=



 

 

al sustituir en la segunda ecuación e integrar adecuadamente



 

/ 20


/ 40

( )


40

80

t



t

y t

e

e



= −

+

 



 

Los detalles de la solución analítica se le dejan al lector. 



 

8. Grafica de la concentración de sal en los tanques 

 

9. Solución al problema planteado 

 

10. Códido Fortran empleado 

 


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