Programación Avanzada Para Ingenieros Petroleros 2008-1 El problema de los dos tanques
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- 2. Observaciones
- 3. Procedimiento
- 5. Notación
- 7. Solución analítica del modelo
- 8. Grafica de la concentración de sal en los tanques 9. Solución al problema planteado
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Programación Avanzada Para Ingenieros Petroleros 2008-1 El problema de los dos tanques
1. Planteamiento del problema Dos tanques A y B se encuentran “conectados” de tal forma se tiene un paso de fluidos entre el tanque A hacia B por medio de una válvula. Un diagrama de esto se muestra en la Figura de abajo. De igual forma se considera que el tanque B cuenta con una válvula desde la cual se drena su contenido.
El tanque A contiene una solución de 100 galones en la que se encuentran disueltas 20 libras de sal. De igual forma, el tanque B cuenta con una solución de 200 galones en la cual se encuentran disueltas 40 libras de sal. Por otra parte, al tanque A se le inyecta agua a una razón de 5 galones por segundo y que por la válvula que conecta A con B se transfieren 5 galones por segundos de la solución. De igual forma, del tanque B se drena a una razón de 5 galones por segundo. ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque B después de un minuto de haber abierto las válvulas?
Este es un problema donde se involucra un “balance de masa” debido a que hay una solución que sale, otra que entra, y no hay pérdida en la transferencia. El problema se enfoca a identificar la cantidad de sal entre los tanques (podemos incluso ir más y hablar de la concentración de la solución). Dado que B se encuentra conectado con A, observaremos una dependencia de concentración del segundo con respecto al primer tanque. Por otra parte, se considera que al verter las soluciones estas se mezclan uniformemente, esto es, un problema soluto-solvente (sal-agua, es este caso), esto no siempre es cierto, pero para los fines prácticos que se persigue suficiente.
3. Procedimiento Plantiemos el problema del balance de la cantidad de sal en cada uno de los tanques en función del tiempo y a partir de ahí describamos las ecuaciones que gobiernan este sistema de intercambio de fluidos.
1.
El tanque A cuenta con volumen de 100 gal, donde hay 20 lb de sal, esto es en el inicio la concentración de sal es de 1/5 lb/gal. 2.
lb de sal, esto es, el en inicio la concentración es de 1/5 lb/gl 3.
Al tanque A se le inyecta agua, a una razón de 5 gal/s por lo que su concentración de sal varía, irá este disminuyendo. 4.
de 5 gal/s; sin embargo, la concentración (cantidad de masa por volumen) B es distinta que en A. Cómo se comportará ésta? Es una de las cuestiones que nos importará resolver.
Llamemos a la cantidad de sal (masa) de la solución en el paso del tiempo del tanque A. ) (t x dt dx representa la tasa de cambio de contenido de sal en el tanque A. Llamemos a la cantidad de sal (masa) de la solución en el paso del tiempo del tanque B. )
y dt dy representa la tasa de cambio de contenido de sal en el tanque B. Llamemos la concentración de de sal en el tanque A y a la concentración de de sal en el tanque B. ) (t C A ) (t C B
6. Las ecuaciones del modelo La tasa de cambio de la cantidad de sal en los tanques, se rige por la diferencia entre la tasa de entrada y la de salida (un balance de masa puro y llano)
de tasa entrada de tasa dt dx − =
de tasa entrada de tasa dt dy − =
La tasa de entrada (salida) para el tanque A es ( ) ( )
flujo de entrada salida concentración = ×
Para el caso del tanque A, tenemos que se inyecta agua limpia; es decir, no hay concentración de sal y esto se hace a una razón de 5 gal/s, por lo que la tasa de entrada se observa:
5 / 0
gl s concentración = ×
Por otra parte, del problema se tiene que la solución que entra al tanque A es la misma que sale, por lo que el volumen permanece constante (a 100 gal), con esto la concentración de de sal en el tanque A es
( )
( ) / 100 A x t C t lb gal =
Por consiguiente la tasa de salida de la sal del tanque A es
( )
1 5 / / / 100 20 x t tasa de salida gal s lb gal lb s = × =
Con esto, tenemos que la cantidad de sal que se encuentra en el tanque A es: 1 20 dx x dt = −
Esto claramente seála que e va limpiando conforme entra el agua al tanque. Ahora obtengamos la otra ecuación. La tasa de entrada al tanque B es la tasa de salida del tanque A, esto es:
( ) 1 5 / / ( )
/ 100
20 x t tasa de entrada gal s lb gal x t lb s = × =
Ahora bien, la solución que entra al tanque B lo hace a la misma razón en que sale, con esto, no hay cambio en el volumen del tanque por lo que la concentración de sal es de
( )
( ) / 200 B y t C t lb gal =
Con esto, tenemos que la tasa de sal que sale del tanque es
( )
1 5 / / ( )
/ 200
20 y t tasa de salida gal s lb gal y t lb s = × =
Por lo que la cantidad de tasa de sal dentro del tanque B es de
1 1 20 40 dy x y dt = −
En el inicio, la cantidad de sal que se encuentra en el tanque B es de 40 libras, por lo que . (0)
40 y =
Describamos las ecuaciones que gobiernan el modelo
1 20 dx x dt = −
1 1 20 40 dy x y dt = −
Sujeto a las condiciones iniciales: (0)
20 x =
(0) 40
=
7. Solución analítica del modelo
Este sistema de ecuaciones es separable, por lo que resolver de manera independiente. Por una parte es relativamente fácil ver que:
/ 20 ( ) 20
x t e − =
al sustituir en la segunda ecuación e integrar adecuadamente, / 20
/ 40 ( )
40 80
t y t e e − − = − +
Los detalles de la solución analítica se le dejan al lector. 8. Grafica de la concentración de sal en los tanques 9. Solución al problema planteado 10. Códido Fortran empleado Download 39.23 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
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