Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции

Решение: на первом шаге нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдём частные производные 1-го порядка:

Контроль: 
и решим систему:

В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим  и подставим в 1-е уравнение:

Таким образом: 
– стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.
Выполним промежуточную проверку:

Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет
достаточное условие экстремума функции двух переменных,
для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке  Для компактности обычно используют следующие обозначения:

Если  , то функция  имеет экстремум в точке  , причём, если  , то это минимум, а если  – то максимум.
Примечание: здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т.к. неравенство  выполняется только в том случае, если  и  – одного знака.
Если  , то в точке  нет экстремума.
Если же  , то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.
В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:

а значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке  :

Таким образом:  , следовательно, в точке  есть экстремум, и так как  , то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию  , чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:

Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».
Ответ: 
Признаюсь честно, привык я рисовать значки  , что не есть хорошо, т.к. они обычно используются для обозначения минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.
И справка для любознательных: поверхность  представляет собой не что иное, как «подзашифорованный» эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.
Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:
Пример 2
Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Пример 3
Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.
Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.
Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:
Пример 4
Исследовать функцию на экстремум

Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении правила  , после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по необходимости «наводить там порядок»:


На всякий пожарный проверим, что  (тем более, находить всё равно придётся):

ОК
Составляем систему:

Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:

В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:

(к такому же результату приводит вычитание одного уравнения из другого)
Теперь подставляем соотношение  в любое, например, во 2-е уравнение системы:

В результате получены 2 стационарные точки:

Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:

Смешанная производная уже найдена:

И, наконец, «двойная игрековая»:

...Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)
На очереди кропотливые вычисления:
1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки  :

, значит, в точке  нет экстремума.
2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки  :

, значит, в точке  существует экстремум, и поскольку  , то это – максимум. Вспоминаем про функцию  и НЕ ОШИБАЕМСЯ:

Ответ: 
О точке перевала  в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.
От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:
Пример 5
Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока
Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр:  . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)
И специально для всех читателей mathprofi.ru, можно сказать, эксклюзивная задача:
Пример 6
Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно:

Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:

Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка  обращает знаменатели в ноль, то есть функция  – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:

И более того, поверхность  непрерывна в точке  (да и вообще в любой точке плоскости  ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум? 
Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!
Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни  , что делает невозможным вычисление значений  .
Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!
Рассмотрим достаточно малую  -окрестность точки  . Любую точку данной окрестности, отличную от  , можно представить в виде  , где значения  не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка  входила в эту окрестность.