Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции

максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимальное значение функции;
минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что минимальное значение функции.
Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:
Как исследовать функцию  на экстремум?
Прежде всего, нужно ориентироваться на необходимое условие экстремума:
если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке  , то обе частные производные 1-го порядка в данной точке равны нулю:

Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют критической, а чаще – стационарной точкой.
! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке  функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.
Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке  частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.
Так, например, у функции  , которая как раз задаёт эллиптический параболоид, частные производные обращаются в ноль в точке  – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).
Но у функции  с производными  , равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это гиперболический параболоид или «седло»:


Для точки  не существует  -окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху  или только внизу  . Грубо говоря, в любой  -окрестности точки  куски поверхности есть и сверху, и снизу.
Точку такого рода так и называют – седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – точкой перевала.
Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий
следует равенство нулю производной и по всем направлениям:  . То есть, если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки  в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.
Итак, условия  необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки  . С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:
Пример 1
Исследовать на экстремум функцию