Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

2.2. Umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida differentsial tenglamalarni integrallash.
Demak, agar (2.1) tenglamada a (x), b (x) funksiyalar ratsional bo’lsa, u yoki bo’lgan nuqtalar (2.1) tenglamaning yagona nuqtalari deyiladi.
Ikkinchi tartibli tenglama uchun
bu yerda a (x), b (x) |x - x 0 | oraliqdagi analitik funksiyalar< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).
X = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda darajalar qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin, bu holda yechimni umumlashtirilgan darajalar qatori shaklida izlash kerak:
Bu erda l va,…, () aniqlanadi.
Teorema_2. (2.6) tenglama x = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajali qator (2.7) ko'rinishida kamida bitta aniq yechimga ega bo'lishi uchun bu tenglamaning ko'rinishi bo'lishi kifoya.
konvergent quvvat qator mohiyati, va koeffitsientlari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki aks holda nuqta x = x 0 yagona nuqta emas va x = x 0 nuqtasida ikkita chiziqli mustaqil halomorf mavjud. Bundan tashqari, agar (2,7") tenglama koeffitsientlariga kiritilgan qator (2,7 ") mintaqada yaqinlashsa | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.
x> 0 uchun (2.6) tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglamaga (2.7) ifodani x 0 = 0 o'rniga qo'ysak, bizda
X ning darajalaridagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz takroriy tenglamalar tizimini olamiz:
……..........................……………………………………………. (2.8)
ko'rsatilgan joyda
Chunki, u holda l tenglamani qondirishi kerak
boshqaruvchi tenglama deyiladi. Bu tenglamaning ildizlari bo'lsin. Agar farq butun son bo'lmasa, u holda har qanday butun son uchun k> 0, ya'ni ko'rsatilgan usul bilan (2.6) tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil echimini qurish mumkin:
Agar ayirma butun son bo'lsa, u holda umumlashtirilgan qator ko'rinishida bitta yechim qurish uchun yuqoridagi usuldan foydalanish mumkin. Ushbu yechimni bilib, Liouvil - Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, ikkinchi yechimni chiziqli mustaqil ravishda topish mumkin:
Xuddi shu formuladan kelib chiqadiki, yechimni shaklda izlash mumkin
(A raqami nolga aylanishi mumkin).

1.