Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

Yechim: printsipial ravishda, siz darhol yozishingiz mumkin Maklaurinning parchalanishi, ammo muammoni shakllantirish umumiy holatdan boshlash uchun ko'proq akademikdir:
Differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini boshlang'ich sharoitda kengaytirish quyidagi shaklga ega:
Bu holda, shuning uchun:
0) Shart bo'yicha.
Xo'sh, nima qila olasiz ... Umid qilamizki, nollar kamroq bo'ladi.
1) Keling, hisoblaylik. Birinchi lotin allaqachon foydalanishga tayyor. Qiymatlarni almashtiring:
2) Ikkinchi hosilani toping:
Va uning o'rniga:
Biznes jadal ketdi!
3) Toping. Men batafsil yozaman:

E'tibor bering, odatiy algebraik qoidalar lotinlarga nisbatan qo'llaniladi: oxirgi bosqichda o'xshash atamalarni qisqartirish va hosilani kuch sifatida yozish: (o'sha erda).
Keling, mehnat bilan olingan hamma narsani almashtiraylik:
Nolga teng bo'lmagan uchta qiymat tug'iladi.
Biz "yog'li" raqamlarni Maklaurin formulasida almashtiramiz va shu bilan ma'lum bir yechimning taxminiy kengayishini olamiz:
Javob:
Mustaqil yechim uchun:
5-misol
Quvvat seriyasining nolga teng bo'lmagan dastlabki uchta hadining yig'indisi sifatida berilgan boshlang'ich shartga mos keladigan DE ning taxminiy qisman yechimini ko'rsating.
Dars oxirida namunaviy dizayn.
Ko'rib turganingizdek, qisman kengaytirish bilan bog'liq muammo Maklaurin seriyasi umumiy holatdan ham qiyinroq bo'lib chiqdi. Ko'rib chiqilayotgan vazifaning murakkabligi, biz ko'rganimizdek, parchalanishning o'zida emas, balki farqlash qiyinchiliklaridan iborat. Bundan tashqari, ba'zida siz 5-6 hosilalarni (yoki undan ham ko'proq) topishingiz kerak, bu xato xavfini oshiradi. Va dars oxirida men murakkablikdagi bir nechta vazifalarni taklif qilaman:
6-misol
Differensial tenglamani Maklaurin seriyasidagi ma'lum yechimning kengayishidan foydalanib, ketma-ketlikning dastlabki uchta nolga teng bo'lmagan shartlari bilan cheklab yeching.
Yechim: oldimizda ikkinchi tartibli diffuziya bor, lekin bu amalda ishni o'zgartirmaydi. Shartga ko'ra, biz darhol Maclaurin assortimentidan foydalanishni taklif qilishdi, biz undan foydalanmaymiz. Keling, har bir o't o'chiruvchi uchun ko'proq shartlarni olib, tanish parchalanishni yozamiz:
Algoritm xuddi shunday ishlaydi:
0) - shart bo'yicha.
1) - shart bo'yicha.
2) Asl tenglamani ikkinchi hosilaga nisbatan yechamiz:.
Va o'rniga:
Birinchi nolga teng qiymat
Losmalar ustiga bosing va almashtirishlarni bajaring:
O'rnini bosuvchi va:

Keling, almashtiramiz:
Ikkinchi nolga teng qiymat.
5) - yo'lda biz shunga o'xshash hosilalarni beramiz.
Keling, almashtiramiz:

Keling, almashtiramiz:
Nihoyat. Biroq, bundan ham yomonroq bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, qidirilayotgan aniq echimning taxminiy kengayishi: