Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

1.3 Teylor seriyasi. Maklaurin seriyasi

Nuqta qo‘shnisida cheksiz differentsiallanuvchi funksiya bo‘lsin, ya’ni. har qanday tartibdagi hosilalarga ega. Funktsiyaning nuqtadagi Teylor qatori darajali qatordir
(1.8)
Maxsus holatda (1.8) qator Maklaurin seriyasi deb ataladi:
Savol tug'iladi: Qaysi hollarda nuqta qo'shnisida cheksiz differensiallangan funksiya uchun Teylor qatori funksiya bilan mos keladi?
Funksiyaning Teylor qatori yaqinlashadigan holatlar mavjud, lekin uning yig'indisi ga teng emas
Funksiyaning Teylor qatorining shu funksiyaga yaqinlashishi uchun yetarli shart beraylik.
1.4 teorema: agar intervalda bo'lsa  funktsiya har qanday tartibli hosilalarga ega va ularning barchasi mutlaq qiymatda bir xil son bilan cheklangan, ya'ni.  u holda bu funksiyaning Teylor qatori shu intervalning har qandayiga yaqinlashadi  bular. tenglik amal qiladi
Konvergentsiya oralig'ining oxirida ushbu tenglik mavjudligini bilish uchun alohida tadqiqotlar talab qilinadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, agar funktsiya darajali qatorda kengaytirilsa, u holda bu seriya ushbu funktsiyaning Teylor (Maklaurin) qatoridir va bu kengayish yagonadir.

1.4 Differensial tenglamalar

Argument funksiyasi uchun n-tartibli oddiy differensial tenglama shakl munosabatidir.
bu yerda uning argumentlarining berilgan funksiyasi.
Matematik tenglamalarning ushbu sinfi nomida «differensial» atamasi ularning hosilalarni (differensiallanish natijasida hosil bo'lgan funksiyalarni) o'z ichiga olishini ta'kidlaydi; "oddiy" atamasi talab qilinadigan funktsiya faqat bitta haqiqiy argumentga bog'liqligini anglatadi.
Oddiy differensial tenglamada kerakli funktsiya argumenti va uning hosilalari aniq shaklda bo'lmasligi mumkin, lekin eng yuqori hosila n-tartibli tenglamaga kiritilishi kerak.
Masalan,
A) - birinchi tartibli tenglama;
B)  - uchinchi tartibli tenglama.
Oddiy differentsial tenglamalarni yozishda ko'pincha differensiallar orqali hosilalarni belgilash qo'llaniladi:
V)  - ikkinchi tartibli tenglama;
G)  birinchi tartibli tenglama bo'lib, tenglamani o'rnatishning ekvivalent shakliga bo'lingandan keyin: 
Funktsiya oddiy differensial tenglamaning yechimi deyiladi, agar unga almashtirilganda u bir xillikka aylansa.
U yoki bu usul bilan, masalan, tanlash orqali, tenglamani qanoatlantiradigan bir funksiyani topish uni yechish degani emas. Oddiy differensial tenglamani yechish deganda tenglamaga almashtirilganda bir xillikni tashkil etuvchi barcha funksiyalarni topish tushuniladi. (1.10) tenglama uchun bunday funksiyalar turkumi ixtiyoriy konstantalar yordamida tuziladi va n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi va doimiylar soni tenglama tartibiga to'g'ri keladi: tenglamaning integrali (1.10). ).
Umumiy yechimdagi yoki umumiy integraldagi barcha ixtiyoriy doimiylarga ba'zi ruxsat etilgan qiymatlarni belgilash orqali biz ixtiyoriy konstantalarni o'z ichiga olmaydigan aniq funktsiyani olamiz. Bu funksiya (1.10) tenglamaning qisman yechimi yoki qisman integrali deyiladi. Ixtiyoriy konstantalarning qiymatlarini va shuning uchun maxsus yechimni topish uchun (1.10) tenglamaga turli xil qo'shimcha shartlar qo'llaniladi. Masalan, boshlang'ich deb ataladigan shartlar quyidagilar uchun o'rnatilishi mumkin:
Dastlabki shartlarning o'ng tomonida (1.11) funktsiya va hosilalarning raqamli qiymatlari berilgan va boshlang'ich shartlarning umumiy soni aniqlangan ixtiyoriy doimiylar soniga teng.
Dastlabki shartlardan (1.10) tenglamaning muayyan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deb ataladi.