Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi
Download 338.12 Kb. Pdf ko'rish
|
bazi elementar funksiyalarning hosilalari. hosilalar jadvali.
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2. Oshkormas funksiya va uning hosilasi
- 1-misol
|
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI
“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI
hosilalari. Hosilalar jadvali. Bajardi: “ QXM-145” guruh talabasi Bo’ronov Abbos Qabul qildi: Raxmonov B.N. Qarshi 2015 Reja: 1. Giperbolik funksiyalar va ularning hosilalari
2. Oshkormas funksiya va uning hosilasi. 3. Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan funksiyaning hosilasi. 4. Hosilalar jadvali.
1. Giperbolik funksiyalar va ularning hosilalari , 2 х х е е shx
, 2
х е е chx
, х х х х е е е е thx ,
х х х е е е е cthx tengliklar yordamida aniqlanadigan funksiyalar giperbolik funksiyalar deb ataladi. Bunda shx- giperbolik sinus, chx-giperbolik kosinus, thx= chx
shx - giperbolik tangens, cthx= shx
chx - giperbolik kotangens deb ataladi. Bu funksiyalar orasida
2
2 x=1, ch 2 x+sh 2
sh2x=2shx chx, ch 2
x th
1 2 ayniyatlar o’rinli ekanligini tekshirib kurishni o’quvchiga tavsiya etamiz. Endi Shu funksiyalarni hosilalarini topish formulalarini hosil qilamiz.
2 х х е е shx = 2
х е е =
2 х х е е = chx,
2 х х е е chx =
2 х х е е =
2 х х е е = shx,
chx shx
thx =
x ch ) shx(chx - chx ) (shx
2 = x ch x sh - x ch 2 2 2 = x ch 1 2 , shx chx cthx x sh ) chx(shx
- shx
) (chx
2 = х 2 2 2 2 sh 1 x
sh x
ch - x sh .
Hisoblashda х х х е е е ) ( , ) е ( х ekanligidan foydalandik. Shunday qilib: ) (shx
) (chx
chx, shx ,
, x сh 1 2
x sh 1 2 cthx .
х va у o’zgaruvchilar orasidagi funktsional bog’lanish F(х,у)=0 tenglama bilan berilgan bo’lsin. Agar qandaydir (а, b) intervalda aniqlangan у=f(х) funksiya mavjud bo’lib, u F(х,у)=0 tenglamani qanoatlantirsa, u holda у=f(х) funksiya F(х,у)=0 tenglama bilan aniqlangan oshkormas funksiya deyiladi. Funksiya у=f(х) tenglik yordamida berilganda y oshkor ko’rinishda berilgan deyiladi. Oshkor ko’rinishda berilgan funksiyani у-f(х)=0 ko’rinishda yozilsa y oshkormas ko’rinishda berilganga o’tiladi. Funksiya F(х,у)=0 tenglama yordamida oshkormas shaklda berilganda tenglamani у ga nisbatan yechilsa funksiyaning oshkor ko’rinishdagi tenglamasi hosil bo’ladi. Ammo bunday o’tish har doim ham oson bo’lavermaydi, ba‘zan esa umuman o’tishning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun oshkormas funksiya hosilasini uni oshkor holga keltirmasdan topish usuli bilan misollarda tanishamiz. 1-misol х 2 +у 2 =4 tenglama bilan berilgan funksiyaning y hosilasini toping. Yechish. Berilgan tenglamani у ni х ning funksiyasi ekanligini hisobga olgan holda x bo’yicha differensiallaymiz: (х 2 )
’+(у 2 ) =4; 2х+2у. y =0, 0
у х , bundan у х у .
4 -4ху+х 4 =0 tenglama bilan berilgan funksiyaning y hosilasini toping. Yechish. Differesiallaymiz: 0 4 ) ( 4 4 3 3 х у х у х у у ; 3 3 х у х у у у ; 3 3 ) ( х у у х у ; х у х у у 3 3
Biz kelgusida oshkormas funksiyaning hosilasini topishga yana qaytamiz. Shuning uchun bu yerda uni batafsil o’rganib o’tirmaymiz. 3. Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan funksiyaning hosilasi.
) t ( ), t ( у х (1.1) tenglamalar berilgan bo’lsin. Bu yerda t 2 1 ,Т Т kesmadagi qiymatlarni qabul qiladi. t ning har bir qiymatiga х va у ning aniq qiymatlari to’g’ri keladi. Agar x va y ni 0ху koordinata tekisligidagi nuqtaning koordinatalari deb qaralsa, u holda t ning har bir qiymatiga tekislikning ma’lum bir nuqtasi to’g’ri keladi. t ning qiymatlari Т 1 dan Т
2 gacha o’zgarsa, bu nuqta tekislikda biror egri chiziqni chizadi. (1.1) tenglamalar ana shu egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi, t parametr deyiladi. Bu egri chiziq qandaydir у=f(х) funksiyaning grafigi bo’lsa, u holda
Faraz qilaylik,
funksiya
x t teskari funksiyaga ega bo’lsin. U holda
x t ni (21.1) ning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak у ni х ning funksiyasi sifatida aniqlaydigan у= [Ф(х)] yoki у=f(х) tenglikka ega bo’lamiz. Shunday qilib (1.1) tenglamalar qandaydir у=f(х) funksiyani aniqlar ekan. 3–misol: М 0 (х 0 ,у 0 ) nuqtadan o’tib j n i m s yo’naltiruvchi vektorga ega to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari yozilsin. Yechish. Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi n у у m х х 0 0 ko’rinishga ega ekanligi ma‘lum. t n у у t m х х 0 0 , deb belgilasak х-х 0 =mt, у-у 0 =nt yoki nt у у mt х х 0 0 , to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari hosil bo’ladi.
) 0 , 2 0 ( int ,
t RS у RCost х
tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. Tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak х 2 +у 2 =R 2
2
2
2
2 (cos 2 t+sin 2
2
2 +у 2 =R 2 hosil bo’ladi. Bu markazi koordinata boshida bo’lib radiusi R ga teng aylananing kanonik tenglamasi ekani ma‘lum.
) 0 , 0 , 2 0 ( , sin
, cos
b а t t b у t а х
tenglamalar ellipsning kanonik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. Tenglamalarni birinchisini а ga, ikkinchisini b ga bo’lib ularni
b y t а х sin
, cos
ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak 1 sin
cos 2 2 2 2 2 2
t b у а х yoki 1 2
2 2 в у а х
ellipsning kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz. 6-misol. . ,
y асht х
tenglamalar giperbolaning parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz (а>0, b>0). Tenglamaning birinchisini а ga ikkinchisini b ga bo’lsak sht b y сht а х , hosil
bo’ladi. Bu tenglamalarning kvadratga ko’tarib birinchi tenglamadan ikkinchisini hadlab ayirsak 1 2
2 2 2 2
sh t ch b у а х yoki
1 2 2 2 2 b y a x giperbolaning kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz. Endi parametrik tenglamalari
) t ( ), t ( у х bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish uchun formula chiqaramiz. ) t ( , t funksiyalar differensiallashuvchi hamda x= ) t ( funksiya t=ф(х) teskari funksiyaga ega deb faraz qilamiz. U holda ) ( ), ( х ф t t у bo’lgani uchun у х ning murakkab funksiyasi bo’ladi, t-oraliq argument. Shu sababli murakkab funksiyani hosilasini topish formulasiga binoan
t x t y y (1.2) bo’ladi. Teskari funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra e x x t 1 , bo’lgani uchun buni (1.2)ga qo’ysak t t t t x x y x y y 1 hosil bo’ladi. Shunday qilib,
t x x y y (1.3) parametrik tenglamalari bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish formulasini hosil qilamiz. 7-misol. . sin
, cos
t b у t а х
-?
Yechish. сtgt а b t a t b t a t b y x ) sin ( cos
) cos
( ) sin ( .
. , bsht у аcht х
-?
Yechish. сtht а b asht bcht acht bsht у x ) ( ) (
9-misol . sin
, cos
3 3
а у t а х
-?
Yechish. . cos sin sin
cos cos
sin ) (cos cos 3 ) (sin sin
3 ) cos ( ) sin ( 2 2 2 2 3 3 tgt t t t t t t t t a t t a t а t а у x
4.Hosilalar jadvali
) ( ), ( x v v x u u -differensiyallanuvchi funksiyalar deb hisoblab asosiy elementar funksiyalarning hosilalari jadvalini tuzamiz va differensiyallash qoidalarini keltiramiz: 1)
. ; 0 const С С
2) х х , 1 erkli o’zgaruvchi. 3)
const u u u , ) ( 1 . 4) Xususiy holda
u u u 2 1 . u u u 2 1 1 . 6)
1 , 0 , , ln ) ( a a const а и a а а и и . 7) Xususiy holda . )
и е e и и
8) 1 , 0 , , ln 1 ) (log
a const а и a и и a . 9) Xususiy holda и и и 1 ) (ln
. 10)
u u u cos ) (sin
. 11)
u u u sin ) (cos . 12)
u u tgu 2 cos 1 ) ( . 13) u u ctgu 2 sin
1 ) ( . 14) и и 2 1 1 ) arcsinu
( . 15) и и 2 1 1 ) arccosu ( . 16) u u arctgu 2 1 1 ) ( . 17) u u arcctgu 2 1 1 ) ( . 18)
u chu shu ) ( . 19) u shu chu ) ( . 20) u u ch thu 2 1 ) ( . 21)
u u sh cthu 2 1 ) ( . 22) v u v u ) ( . 23)
v u v u v u 1 ) ( . 24) . , , ) ( const С С u С u u С Сu
25) 2 v v u v u v u . 26) ) ( ), ( х u u u f у murakkab funksiyani hosilasi uchun х и x u у у o’rinli. 27) )
f у va ) ( у v x o’zaro teskari funksiyalar uchun у х х у 1 o’rinli. 28) ) ( ), ( t у t х bo’lsa
t x x у у .
x v x u y ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini topish talab etilsa, avval berilgan tenglikni e asosga ko’ra logarifmlab keyin tenglikni x bo’yicha differensiallash ma‘qul. Adabiyotlar 1.
Т.Азларов, Ҳ.Мансуров. Математик анализ. 1-қисм. Тошкент «Ўқитувчи», 1986. 2. А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск, 2001. 3. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, «Наука”, 1986. 4. В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. Москва, «Наука”, 2000. 5. Н.С.Пискунов. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-том, Тошкент, «Ўқитувчи», 1972. Download 338.12 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|