Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash

Teorema 2.
Agar va lar о’zgarmas son bо’lib, - zichlik funksiyasi bо’lsa u holda:
(10)
Isboti:
- deb ning zichlik funksiyasini belgilaymiz.
1) a>0. U holda uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik qutilishi ta’rifiga kо’ra



(1): Teorema 1 ga kо’ra a>0 da
(2): kо’rinishda о’zgaruvchilarni almashtirishni bajarsak, u holda va bо’ladi. a>0 bо’lgani uchun (integrallashning yangi yuqori chegarasi), va , (integrallashning yangi quyi chegarasi)
Agar a<0 bо’lsa, hisoblashda juda katta bо’lmagan о’zgarish bо’ladi:




(1): Teorema 1 ga kо’ra a<0 da
Shunday qilib (10) formula tо’liq isbot bо’ldi.
(2): kо’rinishda о’zgaruvchilarni almashtiramiz, u holda , bо’ladi va a<0 bо’lgani uchun (integrallashning yangi yuqori chegarasi) , (integrallashning yangi quyi chegarasi)
(3) Integrallash chegaralarining о’rnini almashtiramiz.
Bu teoremadan, integralning chiziqliligidan va о’tgan temadagi teorema 2 dan (3) formula tо’la isbot bо’ladi.
Ya’ni:
Еndi tasodifiy miqdorning dispersiyasini hisoblash formulasini chiqaramiz.
Teorema 3.
Agar - zichlik funksiya bо’lib, bо’lsa, u holda:
(11)
Isboti:
Avvalo - tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi - ni topamiz:
bо’lgani uchun, larda va shuning uchun:

da



deb - tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini belgilasak, quyidagi hosil bо’ladi:

Shunday qilib:

Еndi - tasodifiy miqdorning dispersiyasini ta’rifga asosan hisoblash mumkin




(1): lar uchun bо’lganidan

(2): Birinchi integralda almashtirish bajarsak va bо’ladi (integrallashning yangi yuqori chegarasi), ikkinchi integralda almashtirish bajarsak va bо’ladi (integrallashning yangi quyi chegarasi).
(3): Integrallash о’zgaruvchisini yana x deb belgilaymiz (Integrallashning о’zgaruvchiga nisbatan invariantligi uchun integral qiymati о’zgarmaydi), ikkinchi integralda еsa integrallash tartibini о’zgartiramiz. Shunday qilib (11) formula isbot bо’ldi.
Misol:
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:



va larni toping:
1)
2)
3)

4)
5) Agar bо’lsa
Agar bо’lsa

chunki da va da .

Agar bо’lsa

Rasm 1

Shunday qilib