Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash

Shartli matematik kutilma.

Ta’rif:
X-diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb quyidagi yig’indiga aytamiz:


Matematik kutilishning xossalari:

1. 
   О’zgarmas sonning matematik kutilishi shu о’zgarmas sonning о’ziga teng:
   

2. 
   О’zgarmas kо’paytuvchini matematik kutilma belgisi oldiga chiqarish mumkin:
   

3. 
   Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz bо’lsalar, u holda:
   

4. 
   Ixtiyoriy tasodifiy miqdorlar X va Y lar uchun:
   

Misollar:
1) О’zaro bog’liqsiz n-ta tajribalarning Bernulli sxemasidagi A hodisaning rо’y berishlar soni -diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi:

2) dagi tekis taqsimlangan - diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi:

Dispersiya

Shunday ikkita turli tasodifiy miqdor kо’rsatish mumkinki ularning matematik kutilmasi bir xil bо’ladi. Masalan

X: -0,01 0,01 Y: -100 100

P: 0,5 0,5 P: 0,5 0,5
M(X)=-0,010,5+0,010,5=0; M(Y)=-1000,5+1000,5=0
Demak, tasodifiy miqdorning faqatgina matematik kutilmasini bilish bilan uni harakterlab bо’lmas еkan. Shuning uchun ham matematik kutilmadan tashqari tasodifiy miqdor qabul qiluvchi qiymatlarning matematik kutilma atrofida sochilish darajasini aniqlashimiz kerak bо’ladi.
Ta’rif:
X-diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb quyidagi matematik kutilmaga aytiladi:

X-tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan bо’lsin:

				...
p				...

Bu taqsimot konuniga qarab - tasodifiy miqdorning taqsimot konunini yozish mumkin:

:				...
P:				...

Ta’rif bо’yicha:

Amalda dispersiyani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanishadi:

Dispersiyaning xossalari:
1)
2)
3) Agar X va Y bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bо’lsalar, u holda
.
Bundan kelib chiqadi
4)X va Y lar bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bо’lsalar, u holda

Misol:
О’zaro bog’liqsiz n-ta tajribalarning Bernulli sxemasidagi A hodisaning rо’y berishlar soni -diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

Dispersiyadan olingan arifmetik kvadrat ildizga о’rtaga kvadratik chetlanish deb ataladi va bilan belgilanadi:

Еhtimollikning zichlik funksiyasi va uning xossalari.
Biz uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi orqali aniqlagan еdik. Bu aniqlash yagona bо’lmay, uzluksiz tasodifiy miqdorni ehtimollikning zichlik funksiyasi orqali ham aniqlash mumkin.
Ta’rif:
Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi - differensiallanuvchi bо’lsa, u holda uning ehtimolligining zichlik funksiyasi deb taqsimot funksiyadan olingan hosilaga aytamiz:
(1)

Demak, taqsimot funksiyasi zichlik funksiyaning boshlang’ichi еkan.

Zichlik funksiyaning asosiy xossalari:

Teorema 1

Ixtiyoriy x - lar uchun va
(2).
Isboti:
funksiya kamayyuvchi bо’lgani uchun:

(2) tenglik quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi.

(1) - Nyuton - Leybnis formulasiga asosan.

Teorema 2

Agar - zichlik funksiyasi bо’lsa y holda
Isboti: