Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash Lokal limit teorema

Natija 1. Agar ()2*3unppknpon⎛⎞⎜=−=−=⎜⎝⎠
()()()nnPSkPSnpuuϕ==−=Δ⋅∼ Δ.
Ko‘p ishlatiladigan belgilashlarga asosan
()()()()()()0,,axobxaxObxxx== →munosabatlar mos ravishda 120
()()()()()000,lim0,limsupxxxxaxaxbxbxbx→→>= < ∞
ekanligini anglatadi. Keltirilgan natijalardan ()()2212knpnpqnnpqPSkeπ−−=∼ asimptotik formulani hosil qilamiz va u Muavr-Laplas lokal limit teoremasi nomi bilan ehtimolliklar nazariyasining asosiy teoremalaridan hisoblanadi.
Misol. Toq sondagi hayat a’zolaridan har biri boshqalarga bog‘liq bo‘lmagan holda 2nm=+1 0,7p=ehtimollik bilan to‘g‘ri qaror qabul qiladi. Ko‘pchilik ovoz bilan qabul qilinadigan to‘g‘ri qarorning dan kam bo‘lmagan ehtimollik bilan qabul qilinishi uchun hayat a’zolarining minimal soni qancha bo‘lishi kerak? 0,99
Yechish. Tasodifiy miqdor 1kξ= bo‘ladi, agar hayatning ka’zosi to‘g‘ri qaror qabul qilsa, aks holda −0kξ= deb hisoblanadi. Agar 1...nS n ξξ=++ bo‘lsa, biz o‘rganayotgan masalaning yechimi ()0,01nPSm≤≤tengsizlikni qanoatlantruvchi n larning toq sondagi qiymatlari qiziqtiradi. Tushunarliki, qo‘yilgan masalaning yechimi ning katta qiymatlarida aniq bo‘ladi. Yuqorida biz Binomial taqsimotning xossalarini o‘rganishda n
()()()()1121nnnmppPSmPSmnpmp+−=≈=+−−
taqribiy tenglikni keltirgan edik.
Biz o‘rganayotgan masala uchun ()*1111,ln41,2222
ln1 ppHppHp−⎛⎞⎛⎞′≈=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
Teorema 1 ga asosan
()()()()()2211exp2122212111exp41212222110,9150,84nnnpPSmnHpnnpppnHHpppnpnnπππ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟−⎝⎠⎩⎭−⎧⎫⎛⎞⎛⎞
Oxirgi munosabatning o‘ng tomonidagi ()()210,9150,84nann= ifoda monoton kamayuvchi funksiya bo‘ladi. Endi ()0,01an= tenglamani yechib, masalaning yechimi bo‘lgan 33n= qiymatini olamiz. Agar Binomial taqsimotni aniq ko‘rinishi bo‘lgan formuladan foydalansak ham, javobni olgan bo‘lar edik. Bu esa, teorema 1 dagi taqribiy formula yuqori darajada aniq bo‘lishini ko‘rsatadi. 33n=
Polinimial taqsimot uchun asimptotik formulalar Bernulli sxemasidagi binomial taqsimot uchun isbotlangan lokal teoremalarning umumlashtirilgan varianti bo‘ladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: ()()*1,ln,jjdjxk ,..., pHxxxxxnp===Σ
Stirling formulasidan kelib chiqadigan !2,nnnnennπ−⋅→∞∼ asimptotik munosabatdan foydalanib, quyidagi teoremani isbot etish mumkin.
Teorema. Agar ta o‘zgaruvchilardan har biri 0 yoki cheksizga intilsa, d1,...,dkk ()()()(){}120**1*01exp2~2djjpjkpnHnPSknπ−=≠⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Π= p va bu yerda o‘zgaruvchilardan nolga teng bo‘lmaganlari soni. 01,...,dkk−
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.