Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash Lokal limit teorema

Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash

Lokal limit teorema
Yuqorida biz Bernulli sxemasida ta tajribada biror hodisaning marta ro‘y berish ehtimolligi nk(kn≤) ()()n-kkknnPS=k=Cp1-p,k=0,n,0
binomial taqsimot orqali ifoda qilinganini ko‘rgan edik. Lekin soda ()!!!knnCknk=−formuladan kelib chiqadiki, va larning katta qiymatlarida binomial taqsimot bo‘yicha hisoblash ishlari katta qiyinchiliklarga duch keladi. Shu munosabat bilan ehtimolliklar uchun n da asimptotik formulalar topish zaruriyati yuzaga keladi. Umuman, ehtimolliklar nazariyasida ayrim ko‘rinishdagi ehtimolliklar uchun qulay asimptotik formulalar topish masalalari lokal limit teoremalari nomi bilan o‘rganiladi. nk(nPSk= ))n →∞(nPSk=
Kelgusida belgi, berilgan~nab{}na va {}nb ketma-ketliklar uchun 1,nnanb→→∞ ekanligini anglatadi ( bu holda {}na va {}nb lar ekvivalent ketma-ketliklar deb hisoblanadi). Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
()()1ln1ln,*1xxHxxxp kpp n−=+−=− (1)
Teorema 1. va k→∞nk−→∞ da
()()(){****1~exp21nnSPSkPpnHpnnppπ⎛⎞===−⎜⎟⎝⎠−} (2)
Isbot. Analiz kursidan yaxshi ma’lum bo‘lgan !~2,nnnnnenπ−→∞
Stirling formulasidan foydalanamiz. Bu holda
()()()()()1~12nnknkkkknnnkknnPSkCppppknkknkπ−−−==−×−−−=
()()()()1explnlnlnln12*1*knkknkkpnkpnknppπ−⎧⎫=−−−++−⎨⎬⎩⎭
()()()()(){}********1expln1ln1ln1ln121nppppppppnppπ⎡⎤=⋅−+−−
()(){}**1exp21nHpnppπ∗=−−.
Teorema 1 isbot bo‘ldi va undan quyida biz qiziqarli xulosalar chiqarishda foydalanamiz.
(1) formulada aniqlangan ()Hx funksiya (0,1) oraliqda hamma tartibli hosilalarga ega va bevosita quyidagi formulalarni yozish mumkin:
Agar *kpn= ning ga yaqin qiymatlarida, ya’ni da p*0pp−→(),kn→∞→∞
tenglikni olamiz. Bu tenglikda Teylor formulasidan va
()()'0HpHp==
ekanligidan foydalanildi.
Teoremadagi (2) va (3), (4) tengliklardan foydalanib, munosabatlar o‘rinli bo‘lgan holda ()3**~,0ppnpp−→()1qp=−
()()2*1~exp22nnPSkpppqnpqπ⎧⎫=− − ⎨⎬⎩⎭
asimptotik formulani hosil qilamiz va undan ()2211,2xxenpqϕπ−Δ==
belgilashlardan foydalanib, quyidagi natijani olamiz.